| Abstract | dc.description.abstract | La primera parte de la presente memoria busca encontrar la sucesi´on completa de valores
propios asociados a funciones propias con simetr´ıa radial para el problema
H(u00, u0, x) + hb(x), |ru| rui + c(x)|u| u = − |u| u en BR(0),
u = 0 en @BR(0),
donde H es un operador el´ıptico ( + 1)-homog´eneo y H, b y c presentan simetr´ıa radial.
Para el caso unidimensional la elipticidad permite reformular este problema como
un problema cuasilineal del tipo ( + 2)-Laplaciano. Esta reformulaci´on permite usar argumentos
de ecuaciones diferenciales ordinarias para encontrar el primer valor propio en
un intervalo. Posteriormente un argumento tipo Nehari, basado en teor´ıa del grado, posibilita
localizar los k ceros de la k-´esima funci´on propia, construida al tomar la primera
funci´on propia entre dos ceros consecutivos. Esta operaci´on puede hacerse un´ıvocamente
gracias a un principio del m´aximo ad hoc. Finalmente, cotas apropiadas para las soluciones
en dimensiones mayores permiten emplear los mismos argumentos del caso unidimensional.
La segunda parte est´a enfocada a resolver una ecuaci´on con no linealidad no Lipschitziana
y un operador integral:
(− ) u = up − uq en RN, l´ım
|x|!1
u(x) = 0,
donde u > 0, 2 (0, 1), 0 < q < 1 < p < N+2
N−2 y N 3. Una t´ecnica basada en el
principio variacional de Ekeland y el teorema del paso de la monta˜na permite demostrar
la existencia de soluciones d´ebiles en H (RN)\Lq+1(RN). Mediante una iteraci´on basada
en la teor´ıa Lp, el uso del n´ucleo de Bessel (al sumar u a ambos lados de la ecuaci´on) y
un argumento de localizaci´on de Silvestre se prueba la regularidad de las soluciones en
H (RN); en particular, que (− ) u puede evaluarse en cada punto de RN.
El uso de subsoluciones y supersoluciones apropiadas permite encontrar la tasa de
decaimiento de las soluciones cl´asicas del problema. Finalmente, empleando un resultado de
simetr´ıa de Terracini para un problema con condici´on de borde Neumann en el semiespacio,
junto al trabajo de Caffarelli y Silvestre, se muestra la simetr´ıa radial de las soluciones del
problema. | |
