Randomización de Medidas de Probabilidad por Autómatas Celulares de Tipo Permutativo No Algebraico.

Abstract

El objetivo de esta memoria es estudiar la randomización asintótica de medidas de probabilidad por autómatas celulares. Esto es, estudiar el límite de la familia de medidas de probabilidad (F^n_μ)_n∈N cuando μ es una medida de probabilidad sobre un espacio de shift y F es una función continua que conmuta con el shift. Lind [Lin84] demostró que la media de Cesàro de la iteración de medidas de Bernoulli en {0, 1}^Z por el autómata celular F = σ + σ^(−1), con σ el shift, converge a la medida producto uniforme. En [FMMN00], Ferrari, Maass, Martínez y Ney, demuestran lo mismo para una clase mucho más general de medidas iniciales. Pivato y Yassawi en [PY02,PY04], generalizan los resultados a autómatas afines sobre cualquier full-shift multidimensional, lo que se extiende a espacios de shift en [MMPY06a,MMPY06b,MSS06]. En [HMS03], Host, Maass y Martínez, demuestran la existencia de la media de Cesàro de la iteración de medidas de probabilidad por autómatas con regla local algebraica. Por otra parte, Blanchard y Tisseur, prueban en [BT00], que la media de Cesàro de la iteración de medidas shift ergódicas por autómatas celulares con palabras bloqueantes en alguna dirección, siempre existe. En esta memoria, se busca evidencia de randomización de medidas de probabilidad por autómatas celulares no algebraicos que no tienen palabras bloqueantes en ninguna dirección. Para esto, se propone una clasificación de los autómatas positivamente expansivos no bipermutativos. En la familia de autómatas considerada, se demuestra que casi ninguno tiene regla local N−scaling y ninguno tiene regla local ψ−asociativa. Además, se prueba que los autómatas permutativos a la derecha solo pueden tener palabras bloqueantes en la dirección −1. Usando este resultado, se encuentran autómatas en la familia explorada que tienen palabras bloqueantes en alguna dirección, en cuyo caso, la media de Cesàro de la iteración de medidas shift ergódicas sí existe. Para aquellos autómatas en que no pudieron encontrarse palabras bloqueantes, se simula la convergencia de la media de Cesàro de la iteración de medidas iniciales de Bernoulli. Las simulaciones sugieren que los autómatas considerados randomizan asintóticamente estas medidas iniciales. De lo anterior, se conjetura la media de Cesàro de la iteración de medidas iniciales de Bernoulli por autómatas permutativos a la derecha, siempre existe, y que en el caso en que no hay palabras bloqueantes en la dirección −1, la medida inicial es randomizada asintóticamen- te. En el Capítulo 5, se le asocia a cada autómata actuando sobre Zp^N con p primo, una familia de polinomios, permitiendo generalizar el concepto de randomización a familias de polinomios no necesariamente asociados a autómatas celulares. En el Capítulo 6 se muestra una construcción de autómatas celulares positivamente expansivos no permutativos. Además, se demuestra que para estos autómatas, la media de Cesàro de la iteración de medidas iniciales de Bernoulli sí existe.