Complejidad Topológica de Nilsistemas y Aplicaciones

Abstract

El presente trabajo de memoria tiene por objetivo principal el estudio de propiedades topológicas de la clase de sistemas dinámicos llamados nilsistemas. Esta clase de sistemas dinámicos ha ganado importancia desde la demostración dada por B. Host y B. Kra en [25] de la convergencia de algunas medias ergódicas no convencionales. A partir de su demostración se han encontrado aplicaciones importantes de los nilsistemas en Teoría Ergódica y se han desarrollado herramientas ergódicas en otras áreas de las matemáticas, como en Combinatoria Aditiva. En su artículo Host y Kra desarrollaron una teoría de nilsistemas desde el contexto medible. El desarrollo topológico de los nilsistemas se ha profundizado en dos artículos recientes de B. Host, B. Kra y A. Maass y de S. Shao y X. Ye, en 2010, en donde demuestran que cada sistema dinámico tiene factores que son nilsistemas de cualquier orden. En esta memoria, se estudian algunas propiedades topológicas adicionales de los nilsistemas, en particular propiedades de mezcla y estabilización de esos factores. La complejidad asociada a un cubrimiento abierto finito en un sistema dinámico comenzó a ser estudiada en [4] en donde se muestra que esa cantidad goza de propiedades que permiten caracterizar sistemas dinámicos. Una de las motivaciones de la presente memoria es indagar qué otros tipos de conclusiones pueden ser obtenidas estudiando esta cantidad. Una pregunta interesante es qué clase de sistemas tiene complejidad polinomial. En particular, se estudia la complejidad de los nilsistemas y se concluye que esta es polinomial en cada cubrimiento abierto donde el grado del polinomio es una constante del sistema. En el Capítulo 1 se introduce el tema de memoria, el contexto histórico matemático que la motiva y las preguntas relevantes que se desarrollan a lo largo del texto. En el Capítulo 2 se introducen las nociones básicas de Dinámica Topológica y Teoría Ergódica y también las definiciones y resultados recientes relacionados con la teoría de nilsistemas. En el Capítulo 3, se estudia la complejidad topológica de los nilsistemas y de sus límites inversos y se logra demostrar que ésta es polinomial en cada cubrimiento abierto. En el Capítulo 4 se desarrollan algunas propiedades topológicas sobre nilsistemas, las cuales fueron obtenidas en [10] en un artículo en colaboración. Se demuestra un criterio de débil mezcla utilizando los cubos dinámicos y se prueba que la secuencia de nilfactores de un sistema dinámico o es estrictamente creciente o se estabiliza en un cierto nivel. Se estudia además la relación entre recurrencia con estructura IP con el límite inverso de los nilfactores topológicos. Se muestra que un sistema sin recurrencia estructurada IP es una extensión casi uno a uno del límite inverso de sus nilfactores. Finalmente, en el Anexo se adjunta el artículo Infinite-step nilsystems, independence and complexity, dentro del cual se inserta el trabajo realizado en esta memoria.