Estimación débil de la sensibilidad del objetivo en problemas lineales

Abstract

En general, un problema de decisión min f(x) s.a. x en F0 está sometido a una gran cantidad de factores que pueden provocar incertidumbre respecto a la delidad de los valores de los datos que de finen F0, causando que la respuesta de este no sea del todo con fiable. Existen diversos métodos para hacerse cargo de la incerteza en los datos, como el Análisis de Escenarios, la Optimización Estocástica y la Simulación, entre otras. Si el decidor es adverso al riesgo, por ejemplo en situaciones donde las decisiones son poco frecuentes o bien las consecuencias de una mala decisión ponen en riesgo la vida de personas, la Optimización Robusta, es la estrategia que le permite ser en extremo conservador, buscando soluciones óptimas que sean factibles bajo cualquier escenario posible de datos. Lamentablemente un algoritmo robusto puede consumir vastos recursos computacionales. Resulta interesante ser capaz de predecir cuánto se arriesga (en términos de la función objetivo), al utilizar una solución económica que ignora la incertidumbre en vez de una costosa solución robusta, o dicho de otra forma, cuánto cuesta una solución conservadora en relación al problema con datos estimados (fácil de resolver). Es posible acotar este valor , en términos de la sensibilidad estructural del problema, una característica intrínseca de la modelación, y el nivel de incertiza que al que estan sometidos los datos, de la siguiente forma: D <= (2/k+1) (max f(x) - min f(x)) Donde k es una medida llamada Margen de Factibilidad propuesta por Ben-Tal y Nemirovski, en situaciones donde la variabilidad de los datos puede ser modelada a través de un conjunto de incerteza U poliedral. Ellos presentan una cota superior para D y en este trabajo se construye un modelo linearizado para computar una estimación simpli cada de esta cota para problemas lineales con incertidumbre en la matriz de restricciones de desigualdad, descrita a través de un conjunto poliedral. Se aplicó este modelo a 16 problemas de la librería NETLib, asumiendo perturbaciones independientes de los parámetros considerados como inciertos. La estimación implementada consiguió buenas cotas ajustadas: Para un nivel de incerteza del 1% las cotas fueron, salvo por dos ocasiones, a lo más 6 veces el valor a estimar y en general el error de la estimación no supero el 8% del valor óptimo nominal. En estos problemas se pudo observar que el error en la cota estimada es proporcional al nivel de incerteza, de comprobarse esta idea, se presentaría una ventaja signi cativa al momento de estudiar el impacto sobre problemas con nivel de incerteza desconocido.