Blowing-up patterns in semilinear elliptic equations of critical type

Abstract

Hay dos partes en mi tesis. La primera parte se dedica principalmente a la construcción de soluciones burbujeantes de algunos problemas elípticos con no linealidad exponencial en $\mathbb{R}^2$. En la segunda parte se considera la existencia de soluciones de punta para ecuaciones elípticas en variedades de Riemann. En la primera parte, utilizamos el m\'{e}todo de reducción de Lyapunov-Schmidt para obtener la existencia de soluciones burbujeantes en el problema de contorno Dirichlet \begin{eqnarray*}\label{ast0eq:1.1} \left\{ \arraycolsep=1.5pt \begin{array}{ll} \Delta u+\lambda u^{p-1}e^{u^p}=0,\ \ u>0\ \ \quad & {\rm en}\ \Omega;\\[2mm] u=0\ \ \quad & {\rm en}\ \partial\Omega, \end{array} \right. \end{eqnarray*} donde $\Omega$ es un dominio suave en $ \mathbb{R}^2 $, $ \lambda> 0$ pequeño. Se estudia el problema para $0<p<2$ en dominios acotados y para $p=1$ en dominios no acotados. A continuación, se considera la existencia de solucions con concentración mixta en el interior y la frontra para el siguiente problema de Neumann \begin{eqnarray*}\label{ast0eq:1.2} \left\{ \arraycolsep=1.5pt \begin{array}{ll} -\Delta u+u=\lambda u^{p-1}e^{u^p},\ \ u>0\ \ \quad & {\rm en}\ \Omega;\\[2mm] \frac{\partial u}{\partial\nu}=0\ \ \quad & {\rm en}\ \partial\Omega, \end{array} \right. \end{eqnarray*} donde $\Omega$ es un dominio suave en $\mathbb{R}^2$, $\lambda>0$ es un parámetro pequeño, $0<p<2$, y $\nu$ denota el vector normal exterior a $\partial\Omega$. Además, construimos las soluciones burbujeantes para el siguiente problema de Neumann \begin{eqnarray*}\label{ast0eq:1.3} \left\{ \arraycolsep=1.5pt \begin{array}{ll} -\Delta u+u=0\ \ \quad & {\rm en}\ \Omega;\\[2mm] \frac{\partial u}{\partial\nu}=\lambda u^{p-1}e^{u^p}\ \ \quad & {\rm en}\ \partial\Omega, \end{array} \right. \end{eqnarray*} donde $\nu$ es el vector normal exterior de $\partial\Omega$, $\lambda>0$ es un parámetro pequeño y $0<p\leq2$. Por último, se estudia la existencia de puntos críticos para el funcional de traza de Trudinger-Moser. En la segunda parte, se considera la existencia de soluciones de punta para ecuaciones elípticas en variedades de Riemann compactas.