Multiplicity Phenomenon and morse index of solutions for some elliptic equations

Abstract

Esta tesis contiene cinco cap\'{i}tulos. En el primer cap\'{i}tulo, presentamos algunas motivaciones de los problemas que consideramos en los siguientes cuatro cap\'{i}tulos. En particular, describimos algunos resultados conocidos para el problema Gelfand, ecuaci\'{o}n y sistema de Lane-Emden, y el problema cl\'{a}sico de Br\'{e}zis y Nirenberg, y enunciamos los principales resultados de esta tesis. En el Cap\'{i}tulo \ref{sec2}, estamos interesados en la estructura de las soluciones al problema de tipo Gelfand \begin{eqnarray*} \left\{ \arraycolsep=1.5pt \begin{array}{ll} -\Delta u=\lambda(e^u-1),\ \ u>0\ \ \quad & {\rm en}\ B;\\[2mm] u=0\ \ \quad & {\rm en}\ \partial B, \end{array} \right. \end{eqnarray*} donde $B$ es la bola de radio 1 en $\mathbb {R}^n $, $N\geq 3$ y $\lambda> 0$ es un par\'{a}metro. Establecemos multiplicidad infinita de soluciones regulares para $3 \leq N\leq 9$ y un valor particular de $\lambda$, y obtenemos una cota para el \'{i}ndice de Morse y el n\'umero de soluciones cuando $ N \geq 10 $. El Cap\'{i}tulo \ref{sec3} est\'{a} dedicado a estudiar soluciones positivas radialmente sim\'{e}tricas estables del sistema de Lane-Emden \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} -&\Delta u=v^p, \; u>0&& \quad\mbox{ en }\ \mathbb{R}^N,\\ -&\Delta v=u^q, \; v>0&& \quad\mbox{ en }\ \mathbb{R}^N, \end{aligned}\right. \end{equation*} donde $ N\geq1$ y $ p\geq q\geq 1 $. Se obtiene una nueva curva cr\'{i}tica que describe de manera \'{o}ptima la existencia de este tipo de soluciones. En el Cap\'{i}tulo \ref{sec4} analizamos la multiplicidad de soluciones para el siguiente problema \begin{eqnarray*}\label{eq:00.1} \left\{ \arraycolsep=1.5pt \begin{array}{ll} -\Delta u=u^p+\lambda u^q,\ \ u>0\ \ \quad & {\rm en}\ \Omega;\\[2mm] u=0\ \ \quad & {\rm en}\ \partial \Omega, \end{array} \right. \end{eqnarray*} donde $\Omega $ es un dominio suave y acotado en $\mathbb{R}^3$, $ \lambda>0$, $p = 5-\varepsilon $, $ \varepsilon> 0 $ y $ 1 <q <3 $. En particular, demostrar que si $2<q<3$, para $\lambda> 0$ suficientemente grande, $\eps>0$ peque\~{n}o, el problema tiene al menos tres soluciones. En el \'{u}ltimo cap\'{i}tulo, utilizando el procedimiento de reducci\'{o}n de Lyapunov-Schmidt, construimos soluciones tipo {\em torre de burbuja} de la ecuaci\'{o}n el\'{i}ptica ligeramente supercr\'{i}tica \begin{eqnarray*} \left\{ \arraycolsep=1.5pt \begin{array}{ll} -\Delta u+u=u^{p}+ \lambda u^q,\ \ u>0\ \ \ & {\rm en}\ \mathbb{R}^N;\\[2mm] u(z)\to0\ \ \mbox{cuando}\ \ \ |z|\to\infty, \end{array} \right. \end{eqnarray*} donde $ p = p^{\ast} + \varepsilon $, con $ p^{\ast} = \frac{N+2}{N-2} $, $1<q<\frac{N+2}{N-2}$ si $N\geq4$, $3<q<5$ si $N = 3$, $ \lambda> 0 $ y $\varepsilon $ es un par\'{a}metro positivo.