Two problems in nonlinear PDEs : existence in supercritical elliptic equations and symmetry for a hypo-elliptic operator
Professor Advisor
dc.contributor.advisor
Dávila Bonczos, Juan
Author
dc.contributor.author
López Ríos, Luis Fernando
Staff editor
dc.contributor.editor
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Staff editor
dc.contributor.editor
Departamento de Ingeniería Matemática
Associate professor
dc.contributor.other
Sire, Yannick
Associate professor
dc.contributor.other
Felmer Aichele, Patricio
Associate professor
dc.contributor.other
Hamel, Francois
Associate professor
dc.contributor.other
Quaas Berger, Alexander
Associate professor
dc.contributor.other
Roquejoffre, Jean-Michel
Admission date
dc.date.accessioned
2014-03-31T15:38:49Z
Available date
dc.date.available
2014-03-31T15:38:49Z
Publication date
dc.date.issued
2014
Identifier
dc.identifier.uri
https://repositorio.uchile.cl/handle/2250/115530
General note
dc.description
Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática
Abstract
dc.description.abstract
En este trabajo se aborda el problema de encontrar soluciones regulares para algunas EDPs elípticas e hipo-elípticas no lineales y estudiar sus propiedades cualitativas.
En una primera etapa, se considera la ecuación
$$
-\Delta u = \lambda e^u,
$$
$\lambda > 0$, en un dominio exterior con condición de Dirichlet nula. Un esquema de reducción finito-dimensional permite encontrar infinitas soluciones regulares cuando $\lambda$ es suficientemente pequeño.
En la segunda parte se estudia la existencia de soluciones de la ecuación no local
$$
(-\Delta)^s u = u^{p \pm \epsilon}, u > 0,
$$
en un dominio acotado y suave, con condición de Dirichlet nula; donde $s > 0$ y $p:=(N+2s)/(N-2s) \pm \epsilon$ es cercano al exponente crítico ($\epsilon > 0$ pequeño). Para hallar soluciones, se utiliza un esquema de reducción finito-dimensional en espacios de funciones adecuados, donde el término principal de la función reducida se expresa a partir de las funciones de Green y de Robin del dominio. La existencia de soluciones dependerá de la existencia de puntos críticos de este término principal y de una condición de no degeneración.
Por último, se considera un problema no local en el grupo de Heisenberg $H$. En particular, se buscan propiedades de rigidez para soluciones estables de
$$
(-\Delta_H)^s v = f(v) en H,
$$
$s \in (0,1)$. Como paso fundamental, se prueba una desigualdad del tipo Poincaré en conexión con un problema elíptico degenerado en $R^4_+$. Esta desigualdad se usará en un procedimiento de extensión para dar un criterio bajo el cual los conjuntos de nivel de las soluciones del problema anterior son superficies mínimas en $H$, es decir, tienen $H$-curvatura media nula.