Análisis de observadores fraccionarios de estado en sistemas dinámicos lineales

Abstract

En el último tiempo, la utilización de derivadas no enteras ha arrojado resultados interesantes en algunas aplicaciones, pues se ha encontrado que ecuaciones diferenciales de orden fraccionario permiten describir de mejor manera la dinámica de ciertos fenómenos. Su uso ha sido validado en ámbitos tan diversos como carga de baterías o sociología, principalmente debido a que incorporan el concepto de memoria en ellas. La observación de estados de un sistema dinámico es un problema que ha sido ampliamente estudiado debido a que permite acceder a información relevante del mismo, para ser usada con fines de control. En la literatura existen numerosos resultados con respecto a observadores fraccionarios, sin embargo el estudio de observadores cuyo orden no coincide exactamente con el del sistema a observar, no ha sido convenientemente abordado. En este contexto, en el presente trabajo de título se plantea el diseño un observador de estado de orden fraccionario para sistemas lineales SISO (Single Input - Single Output), de orden entero y parámetros conocidos. Además se analiza su desempeño y se compara con observadores de orden entero, en cuanto a la rapidez de convergencia del error de observación, y a su robustez frente a cambios en los parámetros del sistema original y presencia de perturbaciones. Mediante desarrollos teóricos y simulaciones, se analiza primero el desempeño del observador de Luenberger de orden fraccionario para una planta de orden entero. Éste se realiza tanto desde el punto de vista de la estabilidad del sistema como de la influencia de distintos parámetros en su desempeño, considerando el caso ideal y también en presencia de perturbaciones y desconocimiento en los parámetros de la planta. Posteriormente se aborda la problemática del diseño de un observador de orden fraccionario, que otorgue alguna ventaja con respecto al desempeño del observador de Luenberger fraccionario. Se analiza la obtención de observadores a partir de una dinámica deseada para el error de observación y finalmente se presenta un observador fraccionario que sigue la estructura de Luenberger fraccionario, pero incorporando una modificación en la entrada que el observador considera. Como resultado del estudio se obtienen condiciones suficientes para la estabilidad de los esquemas de observación fraccionarios planteados y ventajas de los mismos con respecto al observador de Luenberger de orden entero, en cuanto a la velocidad de convergencia para 0<alpha<1 y también respecto de la atenuación de perturbaciones de alta frecuencia para 1<alpha<2. En cuanto a sus desventajas, los observadores fraccionarios estudiados se restringen a plantas estables, con lo cual su velocidad de convergencia está limitada por las características de la planta y no puede ser manejada arbitrariamente, como en el caso Luenberger de orden entero.