Contribución al estudio de valores propios en sistemas de Bratteli-Vershik de rango finito

Abstract

El objetivo de esta tesis es presentar condiciones para analizar la existencia de valores propios en algunas familias de sistemas de Bratteli-Vershik minimales. Ésto expande los resultados obtenidos hasta el día de hoy en ciertas familias de sistemas de Bratteli-Vershik minimales de rango finito, como son los sistemas estacionarios, linealmente recurrentes y Toeplitz. En los primeros dos capítulos de la tesis se presentan estos resultados preliminares, junto con construcciones relevantes, varias de ellas mencionadas en la literatura, pero nunca escritas formalmente. Al hacer esto aparecen un par de ejemplos y métodos particulares, que se adjuntan pretendiendo aportar un poco más al entendimiento de los sistemas de Bratteli-Vershik. En el tercer capítulo se presenta una caracterización de la ocurrencia de un valor propio en un sistema de Bratteli-Vershik minimal de rango finito general, sin distinguir entre valores propios continuos y no-continuos. Esta caracterización tiene la ventaja de estar expresada en términos de elementos combinatoriales relacionados naturalmente a un diagrama de Bratteli, como son sus matrices de incidencia, su orden, y las alturas de las torres de Kakutani-Rokhlin asociadas. En el último capítulo se analizan los valores propios de los sistemas de Toeplitz minimales de rango finito. A partir del ajuste natural de la condición general para sistemas de rango finito, y del análisis de la subfamilia de diagramas esencialmente cíclicos, se establece una caracterización de la ocurrencia de valores propios no-continuos en los sistemas Toeplitz minimales de rango finito, desde diferentes puntos de vista. Por ejemplo, se establece que los únicos sistemas de Toeplitz que poseen valores propios no-continuos son, salvo conjugación, los que provienen de diagramas esencialmente cíclicos. Finalmente se establece una relación entre los valores propios no-continuos de un sistema Toeplitz minimal de rango finito, y la cantidad de medidas ergódicas que dicho sistema posee.