Cubrimientos de vértices por componentes conexas monocromáticas en multicoloreos de aristas de grafos completo

Abstract

La presente memoria tiene como objetivo un estudio general sobre componentes monocromáticas en multicoloreos de aristas de grafos completos, o dicho de otro modo, un coloreo de aristas de multigrafos completos. En particular, el tema de mayor importancia consiste en una generalización de una importante clase de problemas relacionados con la Conjetura de Ryser, la cual habla de una cota universal para el número de componentes conexas monocromáticas necesarias para cubrir todos los vértices de un grafo con sus aristas coloreadas, y donde tal cota solo depende del número de colores utilizados. Los resultados presentes en la memoria son fruto de distintas formas de abordar determinados problemas relacionados con la generalización mencionada y que, por fortuna, resultaron no solo ser útiles para los propósitos para los que fueron ideados, sino que algunos de ellos poseen interés por sí mismos. En primer lugar el motivo de estudio se centra en la cantidad de vértices que podemos asegurar para alguna de las componentes monocromáticas inducidas en un multicoloreo de aristas arbitrario en grafos bipartitos, para luego extender el resultado a grafos completos. Posteriormente se estudia una cota de vértices para multicoloreos de grafos tales que pueden ser cubiertos con tres componentes conexas monocromáticas y no pueden ser cubiertos con dos componentes conexas monocromáticas, pero si aislamos cualquiera de sus vértices entonces el resto de ellos pueden ser cubiertos por dos componentes monocromáticas. Este tipo de multicoloreos será llamado 3-crítico. Finalmente se introduce la generalización de un caso particular de la Conjetura de Ryser, que consiste en encontrar cotas, dependientes del número de colores utilizados, para multicoloreos de aristas de grafos completos. En particular, se restringe el estudio para multicoloreos de aristas uniformes, los cuales se definen como multicoloreos donde todas las aristas tienen el mismo número de colores. Primero se muestran cotas superiores generales, luego cotas inferiores, para finalmente estudiar determinados casos de manera particular y concluir cotas de manera estricta.