Subdinámica proyectiva de subshifts de tipo finito sobre grupos virtualmente-Z

Abstract

El presente trabajo de memoria analiza subshifts de tipo finito definidos sobre grupos virtual- mente-Z a partir de su subdinámica proyectiva: el estudio del subshift obtenido al restringir cada configuración a un subgrupo H. Trabajos previos, como el de R. Pavlov y M. Schraudner [12] o el de Johnson, Kass y Madden [14], se centran en el estudio de la subdinámica de subshifts sobre Z^d; así, el trabajo actual es una suerte de complemento de los anteriores, analizando un caso en que la relación entre un subshift y su subdinámica es más estrecha por el fuerte parecido geométrico existente. El primer capítulo introduce los conceptos algebraicos necesarios para definir los grupos virtualmente-Z y enunciar sus propiedades básicas. Se establecen diversas clasificaciones pa- ra este tipo de grupos, junto con herramientas útiles para la representación geométrica de un grupo, como los grafos de Cayley y Schreier. Posteriormente, se introducen los concep- tos fundamentales de dinámica simbólica para grupos de carácter general, necesarios para introducir la subdinámica proyectiva y el contexto en que ésta es natural. En el segundo capítulo se define formalmente la noción de subdinámica proyectiva y se expone la idea fundamental de la construcción realizada por Pavlov y Schraudner en [12]. Posteriormente, se realiza un estudio preliminar de los subshifts definidos sobre la clase de grupos de la forma Z × F, con |F| < ∞, que en particular comprende a todos los grupos virtualmente-Z abelianos, obteniéndose versiones análogas de algunos resultados de [12] en el contexto actual. Se demuestra que todos los Z-subshifts obtenidos como subdinámica proyectiva de un SFT sobre alguno de estos grupos son subshifts sóficos; asimismo, se muestra también que es posible realizar cualquier Z-sófico de entropía positiva como subdinámica proyectiva de un (Z × F)-SFT. Finalmente, se introducen condiciones necesarias para la realización de Z-sóficos de entropía nula. El tercer capítulo concierne la relación entre entropía de un subshift y de su subdinámica proyectiva, para el caso de grupos de la forma Z×F. El resultado principal consiste en mostrar que, si la subdinámica proyectiva es un Z-subshift irreducible y se alcanza la igualdad entre ambas entropías, la subdinámica es un SFT. Se introducen herramientas de teoría de grafos y un estudio de propiedades de mezcla que son necesarios para demostrar este resultado bajo las hipótesis expuestas. El capítulo final busca extender los argumentos empleados previamente para obtener teoremas de soficidad y realización en el caso más general. Se demuestra que la subdinámica proyectiva de cualquier SFT sobre un grupo virtualmente-Z es un Z-sófico; también se muestra un resultado de realización para una gran clase de grupos virtualmente-Z. Se concluye esbozando argumentos para generalizar los resultados obtenidos en los capítulos previos. En la parte final del capítulo 4 y en las conclusiones se exploran posibles avenidas para un trabajo futuro que esclarezca la relación entre un subshift y su subdinámica proyectiva en el caso virtualmente-Z.