Puntos fijos de operadores no expansivos y regularidad asintótica

Abstract

En la presente memoria se estudia la propiedad de regularidad asintótica para una variante de la iteración de \textit{Krasnoselskii-Mann} en un espacio de Banach general. Este problema está enmarcado en la teoría métrica de puntos fijos de operadores no expansivos, pues resulta ser que, bajo ciertas hipótesis, la sucesión de iterados de Krasnoselskii-Mann converge a un punto dijo de cierto operador $T$.\\

La regularidad asintótica de la iteración de Krasnoselskii-Mann ha sido ampliamente estudiada por muchos autores, ya que sirve para aproximar puntos fijos de un operador no expansivo $T:C\to C$ definido sobre un conjunto no vacío, convexo, cerrado y acotado en un espacio de Banach. Se ha establecido la regularidad asintótica de los iterados de Krasnosleskii-Mann en un espacio de Banach bajo condiciones simples, y además se conoce la tasa de regularidad asintótica en un espacio de Banach general. En esta memoria se prueba la regularidad asintótica de la iteración $$x_{k+1}=(1-\alpha_{k+1})x_k+\alpha_{k+1}(Tx_k+e_{k+1}),$$ donde $x_0\in C$, $(\alpha_k)_{k\in\N}\subseteq[0,1]$, $e_n\to 0$, $\sum\alpha_k(1-\alpha_k)=\infty$ y $\sum\alpha_k\|e_k\|<\infty$. Además, se establece la tasa de convergencia de $\|x_n-Tx_n\|$ cuando los coeficientes $(\alpha_k)_{k\in\N}$ están lo suficientemente alejados de $0$ y $1$. Por último, se aplican los resultados obtenidos en esta tesis para estudiar la regularidad asintótica de otros procesos iterativos y para estudiar cotas de la solución de una ecuación de evolución no lineal.