Strong convergence of a milstein scheme for a CEV-like SDE and some contributions to the analysis of the stochastic Morris-Lecar neuron model

Abstract

Desde muy temprano en el desarrollo de la teoría de procesos estocásticos ha existido un creciente interés por aplicar sus herramientas en diferentes contextos; ya en el año 1900 Bachelier creó un modelo de movimiento Browniano para describir el mercado de acciones en París [7], y desde entonces el rango de aplicaciones del modelamiento estocástico ha seguido creciendo y hoy en día incluye desde economía hasta biología. Esta tesis tiene dos partes, cada una de ellas dedicada al estudio de un modelo estocástico diferente. En la primera se estudia la aproximación numérica de la solución de una ecuación diferencial estocástica con aplicaciones en finanzas. Mientras que en la segunda se estudia un modelo estocástico para neuronas con énfasis en los comportamientos asintóticos . La primera parte de esta tesis se organiza como sigue. En el Capítulo 2 se presenta una breve introducción a los métodos clásicos de aproximación de soluciones de ecuaciones difer- enciales estocásticas y se recuerdan sus propiedades de convergencia. Luego, en el Capítulo 3 se estudia un esquema numérico para aproximar las soluciones de dX_t =b(X_s)ds + σ|Xs|^αdWs. Esta ecuación se puede ver como la generalización del modelo CIR para tasas de interés y tiene un gran rango de aplicaciones en finanzas. El principal resultado de este capítulo es la convergencia fuerte con tasa 1 del esquema numérico estudiado a la solución exacta de la ecuación. Este capítulo está basado en un trabajo conjunto con Mireille Bossy [16], el cual ha sido aceptado para su publicación en la revista Bernoulli. En la segunda parte de esta tesis se estudia el modelo de Morris-Lecar para una red de neuronas. El principal objetivo es estudiar el comportamiento del sistema cuando el tiempo o el número de neuronas se va a infinito. Sin embargo, antes de abordar esas temáticas, se discuten dos versiones estocásticas para el modelo de Morris-Lecar, y la relación entre ellas. Los resultados principales de esta parte de la tesis son la caracterización del comportamiento límite, en intervalos de tiempo finito, para una red de neuronas cuando el número de neuronas diverge a infinito y un resultado de sincronización para una red finita de neuronas cuando el tiempo diverge a infinito.