Nuevos y mejores algoritmos para el problema de la secretaria en matroides

Abstract

Estudiamos una generalización del problema de la secretaria llamada el problema matroidal de la secretaria propuesta en 2007 por Babaioff et al. [1]. En este problema, los elementos de una matroide se revelan en orden aleatorio. Al observar un elemento, debemos decidir de forma irrevocable si incluirlo o no en nuestra solución. Los elementos aceptados deben formar un conjunto independiente y deseamos que sea cercano al independiente óptimo. En su trabajo, Babaioff et al. [1] conjeturaron la existencia de un algoritmo O(1)-competitivo para este problema en cualquier matroide. Dicha conjetura sigue abierta, y solo se ha podido probar en clases particulares de matroides. Por un lado esta tesis sirve como lectura introductoria al problema ya que incluye una introducción a lo que son las matroides y al problema de la secretaria. Por otro lado presentamos nuevos resultados sobre este problema. Desarrollamos una nueva técnica para diseñar y analizar algoritmos con la cual obtenemos nuevos algoritmos O(1)-competitivos para cuatro clases de matroides: transversales, gráficas, laminares y un tipo especial de matroides representables que llamaremos k-sparsas. En todos estos casos, nuestros algoritmos funcionan aún bajo hipótesis más restrictivas que las del problema original, y logran una mejor competitividad que la de los mejores algoritmos publicados para esos problemas. Además planteamos y estudiamos algunas variantes del problema.