Fracture modelling directly from computer-aided design (CAD) by the extended isogeometric finite element method (X-IGA FEM) with trimmed nurbs

Abstract

Tanto los software de Diseño Asistido por Computadora (CAD) como las herramientas de análisis por medio del Método de Elementos Finitos (FEM) han tenido un enorme impacto en la actividad ingenieril en las últimas décadas. Aun así, tienen la desventaja de que las geometrías CAD no son directamente compatibles con las geometrías utilizas en FEM, lo cual resulta en la necesidad de re-mallar la geometría varias veces durante un ciclo de soluciones FEM. Para solucionar esto, IGA ha sido propuesto como una metodología capaz de generar un vínculo directo entre el diseño mediante CAD y el análisis FEM. La principal idea dentro de IGA es sustituir las funciones de forma utilizadas en FEM por las funciones de base que utiliza el software CAD, conocidas como NURBS. Por otro lado, los problemas de mecánica de fractura presentan dificultades extras para los métodos numéricos debido a las irregularidades que presenta la geometría de la grieta y el campo de esfuerzos singular que se origina alrededor de la punta de la grieta. Para solucionar esto, una nueva generación de métodos numéricos ha sido desarrollada, la cual incluye el renombrado XFEM. La misma idea del XFEM ha sido formulada dentro del contexto de IGA, conocido como Análisis Isogeométrico Extendido (XIGA) y ha sido aplicado exitosamente en grietas rectas y curvas en problemas de elasticidad 2-D. Sin embargo, los trabajos publicados en este tema se han limitado a problemas simples. El objetivo de este trabajo es aplicar el XIGA en problemas de mecánica de fractura con grietas en geometrías complejas dadas por curvas CAD. El trabajo consiste en implementar la metodología de enriquecimiento del XFEM dentro de un código IGA para solucionar problemas de mecánica de fractura 2D. La primera simulación consiste en el problema de una placa infinita con una grieta recta. Esta es resuelta utilizando enriquecimiento Heaviside y Heaviside con punta de grieta. La segunda simulación consiste en emplear NURBS cuadráticos y cúbicos para resolver el problema de un agujero circular con una grieta. En ambas simulaciones se calculan las normas de error $L^{2}$, $H^{1}$ y energética, y el factor de intensidad de esfuerzos (SIF) $K_{I}$ para evaluar los resultados.

Ambos problemas exhiben convergencia sub-óptima al momento de refinar la malla y el $K_{I}$ está en concordancia con la solución analítica. ---- Both the CAD software and FEM software have a huge impact on engineering nowadays. Even though both are powerful tools for design and analysis, the main drawback is that CAD geometries and Finite Element models do not completely match, which results in the necessity to re-parametrize the geometry many times during the solution cycle in FEM. Isogeometric Analysis (IGA) was proposed to fulfill this gap and create the direct link between the CAD design and FEM analysis. The main idea of IGA is to substitute the shape functions used in FEM by the shape functions used in the CAD software. Nevertheless, fracture mechanics problems present difficulty for any numerical method due to the irregularity in the crack domain and the singularity of the stress field in the vicinity of the crack tip. To overcome this difficulty, a new generation of numerical methods has been developed, which includes the so-called Extended Finite Element Method (XFEM). The same idea was implemented within the IGA (XIGA) and applied successfully for straight and curved cracks in two-dimensional elasticity. However, the published work is limited to simple crack configurations. The objective of this work is to investigate the applicability and efficiency of the XIGA for cracks of complex geometries given by CAD curves. The work consists in implementing the enrichment method of the XFEM into the in-house IGA code and in verifying the approach on a number of benchmark problems. Heaviside and Heaviside $+$ crack tip enrichment has been implemented for a benchmark problem of an edge crack and the results are shown to be in excellent agreement with the analytic solution. The comparison of the results is done in $L^{2}$, $H^{1}$ and Energy norm of the error, which exhibit the sub-optimal convergence rates, when the mesh size tends to zero. Quadratic and Cubic NURBS were employed to solve the benchmark problem of an edge crack in a circular hole and the results are shown to be in agreement with the analytic solution, despite the complicity of the geometry. The stress intensity factor (SIF) $K_{I}$ is computed and in both benchmark problems it is in agreement with their theoretical value.