Números de Turán en coloreos promedio para grafos completos

Abstract

Un coloreo de aristas de un grafo se llama γ-promedio si es que el número promedio de colores incidentes a cada vértice es a lo más γ. Dados n, m enteros positivos y γ un real positivo, el número de Turán promedio coloreado T(n, K_m, γ-promedio) corresponde a la máxima cantidad de aristas que puede tener un grafo de n vértices de manera que exista un coloreo γ-promedio que no contenga ninguna copia monocromática de K_m. Esta noción fue introducida por Caro, quien observa que la expansión (blow-up) de un grafo completo γ-promedio coloreado sin copias monocromáticas de K_m también es γ-promedio coloreado y tampoco posee copias monocromáticas de K_m. Con ello, Caro se pregunta de si el máximo de aristas buscado se alcanza en la expansión de un grafo completo γ-promedio coloreado que maximice el número de vértices bajo la condición de no contener una copia monocromática de K_m (un coloreo extremal para el número de Ramsey γ-promedio). Yuster probó que la respuesta es afirmativa para el caso m=3 y γ=2, y además conjeturó que la respuesta es siempre afirmativa para todos los γ = ℓ ∈ N. En la presente memoria se demuestra esta conjetura de Yuster cuando m >= ℓ(ℓ+1)+1. Por otro lado, se demuestra también que la respuesta a la pregunta de Caro es negativa para un conjunto no numerable de valores de γ ∉ N.