Cubos dinámicos direccionales para Z d-sistemas minimales

Abstract

En 2005, B. Host y B. Kra [24] probaron la convergencia de algunos promedios ergódicos múltiples introduciendo para cada d \in N un factor que caracteriza el comportamiento de estos promedios. En 2010, B. Host, B. Kra y A. Maass [25] estudiaron una contraparte topológica de estos factores para sistemas dinámicos topológicos (X,T), donde :X\to X es un homeomorfismo de X en sí mismo. En este trabajo introdujeron la estructura de cubos topológicos, denotada por Q^{[d]}(X,T), y probaron un teorema de estructura para sistemas transitivos con la propiedad de ``completación única de la última coordinada de un punto en Q^{[d]}(X,T)''. Este teorema de estructura se puede ver como el análogo topológico del teorema de estructura ergódico probado en [24]. Además, introdujieron la relación regionalmente proximal de orden d, denotada RP^{[d]}(X,T), y mostraron en el caso minimal distal que la relación es de equivalencia y que X/RP^{[d]}(X,T) es el factor maximal con la propiedad de completación única en Q^{[d]}(X/RP^{[d]}(X,T))$. En 2014, S. Donoso y W. Sun [7] estudiaron una variante de los cubos topológicos para un sistema minimal (X,S,T), donde S y T son dos homeomorfismos que conmutan. Esta nueva estructura se motiva en la búsqueda de factores característicos para promedios ergódicos múltiples con transformaciones que conmutan. Los autores prueban un teorema de estructura para sistemas minimales con la propiedad de ``completación única de la última coordinada de un punto en Q_{S,T}(X)''. Introducen además la relación (S,T)-regionalmente proximal, denotada por R_{S,T}(X), que es una variante más débil de la relación regionalmente proximal de primer orden para acciones de Z^{2}. Finalmente, en el caso distal prueban que la relación (S,T)-regionalmente proximal es una relación de equivalencia y que X/R_{S,T}(X) es el factor maximal con la propiedad de completación única en Q_{S,T}(X/R_{S,T}(X)) En esta tesis generalizamos el concepto de cubos topológicos para sistemas minimales (X,T_{1},...,T_{d}), donde T_{1},...,T_{d} son d homeomorfismos que conmutan, así como la relación (T_{1},...,T_{d})-regionalmente proximal introducidas en [7]. En primer lugar demostramos un teorema estructural para sistemas minimales distales con la propiedad de completación única. Luego, para cada i \in {1,...,d} definimos la clase Z_{0}^{e_{i}}, que corresponde a la clase de sistemas dinámicos donde la acción Ti es la identidad y describimos, para cada sistema dinámico (X,T_{1},...,T_{d}), su factor Z_{0}^{e_{i}}-maximal. Adicionalmente estudiamos las propiedades de los conjuntos de recurrencia para sistemas minimales distales con la propiedad de completación única para la clase de cubos desarrollada en esta tesis. In 2005, B. Host and B. Kra [24] proved the convergence of some multiple ergodic averages by introducing for each d\in N a factor that characterizes the behavior of these averages. In 2010, B. Host, B. Kra and A. Maass [25] studied a topological counterpart of these factors for topological dynamic systems (X,T), where T: X\to X is a homeomorphism from X to itself. In this work they introduced the structure of topological cubes, denoted by Q^{[d]}(X,T), and they proved a structure theorem for transitive systems with the property of ``unique completion of the last coordinate of a point in Q^[d](X,T)''. This structure theorem can be seen as the topological analog of the purely ergodic structure theorem proved in [24]. In addition, they introduced the regionally proximal relation of order d, denoted RP^{[d]}(X,T), and showed in the minimal distal case that the relation is an equivalence relation and that is the maximal factor with the unique completion property in Q^{[d]}(X/\RP^{[d]}(X,T)}). In 2014, S. Donoso and W. Sun [7] studied a variant of the topological cubes for a minimal system (X,S,T), where S and T are two commuting homeomorphisms. This new structure is motivated in the search of characteristic factors for multiple ergodic averages with commuting transformations. The authors prove a structure theorem for minimal systems with the property of ``unique completion of the last coordinate of a point in Q_{S,T}(X)''. They also introduce the relation (S,T)-regionally proximal, denoted by R_{S,T}(X), which is a weaker variant of the regionally proximal relation of order one for Z^{2}-actions. Finally, in the distal case they proved that the relation (S,T)-regionally proximal is an equivalence relation and that X/R_{S,T}(X) is the maximal factor with the unique completion property in Q_{S,T}(X/R_{S,T}(X)). In this thesis we generalize the concept of topological cubes for minimal systems (X,T_{1},...,T_{d}), where T_ {1},..., T_{d} are d commuting homeomorphisms, as well as the relation (T_{1},...,T_{d})-regionally proximal introduced in [7]. First, we prove a structural theorem for distal minimal systems with the closing parallelepiped property. Then, for each i\in {1,...,d} we define the class Z_{0}^{e_{i}}, which corresponds to the class of dynamical systems where the action T_{i} is the identity and we describe, for each dynamical system (X,T_{1},...,T_{d}), its maximal Z_{0}^{e_ {i}}-factor. Additionally, we studied the properties of recurrence sets for distal minimal systems with the closing parallelepiped property for the class of cubes developed in this thesis.