Contribución al estudio de valores propios y mezcla débil en transformaciones de intercambios de intervalos y sistemas geométricos afines

Abstract

Las transformaciones de intercambios de intervalos aparecen como aplicaciones de primer retorno de flujos lineales en superficies de traslación con cierto género g ≥ 1, generalizando las rotaciones en el círculo. El estudio de las propiedades ergódicas de intercambios de inter- valos y de ciertas dinámicas de suspensión correspondientes a flujos lineales en superficies de traslación y flujos en billares poligonales ha sido extenso en las últimas décadas. De particu- lar interés ha sido el estudio de valores propios de estos sistemas, ya sean vistos desde una perspectiva medible o topológica [NR97], [AF07], [FZ11], [AD16]. Desde el punto de vista de dinámica simbólica, estos sistemas poseen representaciones como sistemas minimales de Cantor de rango topológico finito, i.e., existe una extensión simbólica que puede representarse como un sistema de Bratteli-Vershik con un número de torres de Kakutani-Rohlin por nivel globalmente acotado. Con esta motivación, condiciones necesarias y suficientes para que un número complejo sea valor propio, ya sea medible o topológico, han sido propuestas desde el trabajo pionero de B. Host [Hos86], en donde se prueba que todo valor propio medible asocia- do a un sistema dinámico proveniente de una substitución primitiva está siempre asociado a una función propia continua. Luego, condiciones necesarias y suficientes que caracterizan a los valores propios continuos y medibles en sistemas minimales de Cantor linealmente recurren- tes fueron explicitadas en [CDHM03] y en [BDM05], posteriormente extendidas en [BDM10] y [DFM15] al contexto de sistemas minimales de Cantor de rango finito. Es en esta última clase de sistemas en donde se centra el estudio de esta tesis. En la primera parte de este trabajo, proponemos una representación de Bratteli-Vershik para transformaciones de intercambios de intervalos construida a partir del algoritmo de Rauzy- Veech sobre la transformación original. Más generalmente, se propone una representación de Bratteli-Vershik de rango finito de shifts S -ádicos minimales. Estas representaciones son particularmente útiles para el estudio de valores propios de estos sistemas. Luego, exploramos como esta representación permite recuperar propiedades de mezcla débil en el caso de inter- cambios de tres intervalos. En un contexto más general, se propone parametrizar sistemas de Bratteli-Vershik por caminos infinitos dirigidos en un grafo dirigido finito, que llamare- mos grafo de renormalización. Con suficientes parámetros, las propiedades de mezcla sobre el shift actuando en el espacio de caminos dirigidos infinitos en este grafo permiten abstraer un resultado de mezcla débil topológica, inspirados en el trabajo de A. Nogueira y D. Rudolph [NR97]. Extendemos dicho resultado a la mezcla débil de estos sistemas, siguiendo las ideas de A. Avila y G. Forni [AF07]. Finalmente, ilustramos como estos resultados son suficientes para asegurar la mezcla débil en ciertas generalizaciones de sistemas de intercambios de intervalos, más concretamente, en ciertas involuciones lineales con una combinatoria específica.