Mathematical modeling and inverse problemas in biomedical imaging

Abstract

En esta tesis presentamos tres problemas de reconstrucción de imágenes biomédicas, esto, desde el punto de vista de la modelación matemática y los problemas inversos. El primero está asociado al problema de identificación en SPECT (Single Photon Emission Computed Tomography) donde se desea reconstruir simultáneamente una fuente radioactiva y la atenuación del medio. El segundo, dentro del área de LSFM (Light Sheet fluorescence Microscopy), comprende la recuperación de la distribución de un material fluorescente. Y finalmente, un tercer problema de interés en FLIM--OPT (Fluorescence Lifetime Imaging Microscopy with Optical Projection Tomography) que busca recuperar simultáneamente la densidad de un material fluorescente y su tiempo de vida media. Dado que cada técnica está asociada a un modelo físico específico, en cada caso, proponemos un operador que nos permita describir el conjunto de mediciones observadas en términos de los parámetros que se desean recuperar. En el Capítulo 1, presentamos una recopilación de las principales definiciones y teoremas que se usarán en los próximos capítulos. Damos principal atención a la ecuación de transporte y a la Transfomada de Radon y sus generalizaciones. En el Capítulo 2, presentamos un método de reconstrucción algebraica (ART) para resolver el problema de identificación en SPECT. La propuesta es reconstruir la fuente y la atenuación utilizando mediciones balísticas y de primer scattering provenientes únicamente de la técnica SPECT. Para esto se realizan pequeñas modificaciones a un modelo ya propuesto en esta dirección incorporando un término de Klein--Nishina para explicar la dependencia angular del scattering. El Capítulo 3 está destinado al problema en LSFM. Se utiliza la ecuación de Fermi para describir el proceso de propagación de una luz láser en un medio atenuante y difusivo durante la etapa de iluminación. Y, por otra parte, la ecuación de transporte explica cómo se propagan los fotones hasta ser observados en la cámara. Una vez establecido un operador de mediciones, se estudia su inyectividad reduciéndolo a un problema de recuperación de la condición inicial en la ecuación del calor cuando tenemos mediciones a lo largo de una curva espacio--temporal. Un algoritmo de reconstrucción es propuesto reduciendo el problema discretizado a la solución de un sistema lineal. En el Capítulo 4, presentamos un modelo matématico para la reconstrucción simultánea de la distribución de cierto material fluorescente conjuntamente con su tiempo de vida medio, esto dentro de la técnica de FLIM--OPT. Se analizan independientemente el problema linealizado y el caso en el que el tiempo de vida media es constante por partes.