Differential inclusions and optimization algorithms of forward-backward type

Abstract

This thesis has two main purposes: first, we shall compare continuous and discrete trajectories associated to a differential inclusion governed by the sum of a maximally monotone operator with a cocoercive operator and the discrete trajectories generated by means of forward backward algorithm, in a finite and infinite horizon. As a consequence of the general theory, we obtain new results on the strong convergence for the forward backward algorithm. In the particular case of the explicit iterations governed by an operator deriving from a potential, we present important results concerning to the strong convergence of gradient algorithm. The second purpose in this thesis is to show some results obtained about the acceleration of certain primal-dual algorithms for image processing, by using the asymptotic properties of the preconditioned forward backward algorithm. We deal specifically with the algorithms presented by Loris–Verhoeven [53] and Condat–Vu [27, 69], when the cocoercive operator in both algorithms is affine.

Esta tesis tiene dos propósitos principales: primero, vamos a comparar trayectorias continuas asociadas a una inclusón diferencial gobernada por la suma de un operador maximálmente monótono con un operador cocoercivo y las trayectorias discretas generadas a través del algoritmo forward backward, en un horizonte temporal finito e infinito. Como consecuencia de la teoría general, obtenemos nuevos resultados sobre la convergencia fuerte para el algoritmo forward backward. En el caso particular de iteraciones explícitas por un oerador derivado de un potencial, presentamos inportantes resultados concernientes a la convergencia fuerte del algoritmo del gradiente. El segundo propósito de esta tesis es mostrar algunos resultados obtenidos sobre la aceleración de ciertos algoritmos primal–dual para procesamiento de imágenes. Tratamos específicamente con los algoritmos presentados por Loris–Verhoeven [53] y Condat–Vu [27, 69], cuando el operador cocoercivo en ambos algoritmos es afín.