Contribución al estudio de endomorfismos de sistemas dinámicos minimales de Cantor

Abstract

Los sistemas dinámicos minimales de Cantor representan una clase relevante de estudio en teoría ergódica y dinámica simbólica desde hace más de un siglo. Ejemplos relevantes son el sistema de Thue-Morse o el sistema substitutivo de Fibonacci, que sirvió como modelo inicial para el estudio de traslaciones en superficies planas. El resultado de Herman, Putnam y Skau a inicios de los noventa, que caracteriza la equivalencia orbital (fuerte y débil) por medio del grupo de dimensión asociado a este tipo de dinámicas, marca un hito en la teoría. La herramienta principal en estos estudios son las representaciones usando diagramas de Bratteli-Vershik. Posteriormente, el uso de los diagramas de Bratteli-Vershik permitió entender clases muy estudiadas de subshifts minimales y probar propiedades finas de su comportamiento dinámico. En particular, el resultado de Durand, Host y Skau a fines de los noventa establece que la clase de los sistemas substitutivos minimales coincide con los sistemas de Bratteli-Vershik estacionarios (todos los niveles del diagrama coinciden) y el resultado de Durand algunos años después caracteriza la clase de subshifts linealmente recurrentes. En ambos casos las representaciones de Bratteli-Vershik tienen un número uniformemente acotado de vértices por nivel. El estudio de muchas propiedades dinámicas de estas dos clases de sistemas motivaron la definición de los sistemas minimales de Cantor de rango finito (RF): son aquellos que admiten representaciones de Bratteli-Vershik con un número uniformemente acotado de vértices por nivel. Además de los sistemas antes mencionados esta clase incluye a muchos de los sistemas dinámicos de entropía cero clásicos como las extensiones simbólicas de transformaciones de intercambios de intervalos. En los últimos veinte años se han probado resultados interesantes sobre los sistemas RF, como lo son una descripción de sus medidas invariantes, su expansividad, la caracterización de sus valores propios y recientemente para la clase de subshifts de complejidad no-superlineal (que son todos de RF) se probó que el grupo de automorfismos es virtualmente $\mathbb{Z}$. El objetivo de este trabajo es abordar distintas preguntas sobre la dinámica de sistemas de RF. En particular, se prueba que el la clase de sistemas de RF el grupo de automorfismos es virtualmente $\mathbb{Z}$. Por otro lado, motivados por trabajos de Durand y Durand-Leroy del 2018 donde se estudian sistemas linealmente recurrentes, probamos para una clase significativa de sistemas de RF, el número de factores simbólicos es esencialmente finito. En particular, mostramos que esta subclase incluye a una familia genérica de transformaciones de intercambios de intervalos.