Subshifts en los grupos de Baumslag-Solitar solubles no-abelianos

Abstract

En este trabajo es de interés el estudio de la dinámica simbólica sobre los grupos de Baumslag-Solitar solubles no-abelianos BS(1,N), N>= 2, a través de la comprensión de cómo la estructura de dichos grupos fuerza comportamientos sobre las configuraciones del BS(1,N)-full-shift, y el aprovechamiento de construcciones utilizando la geometría del grupo. Se definen sustituciones sobre los grupos de Baumslag-Solitar, logrando dar para una subclase de subshifts sustitutivos una versión del teorema de Mozes [17], que establece condiciones suficientes bajo las cuales éstos son sóficos. Luego se estudia el caso de una familia de subshifts en particular: los llamados "Graph-coloring subshifts", cuyo origen proviene del concepto de coloreos propios en teoría de grafos. Para esta familia se estudia su no-vacuidad, extensibilidad de patrones, cotas sobre su entropía y tipos de mezcla. Posteriormente se estudia una clase de BS(1,N)-subshifts definidos a partir de Z-subshifts, obteniendo resultados sobre la relación entre las entropías de ambos sistemas, y aproximabilidad de la entropía del BS(1,N)-subshift a través de las entropías de Z-subshifts. Finalmente se estudia la subdinámica proyectiva de BS(1,N)-SFTs, basándose en el trabajo de R. Pavlov y M. Schraudner [18], y dando condiciones para la realización de Z-subshifts sóficos como subdinámica proyectiva de un BS(1,N)-SFT.

The objective of this work is to study symbolic dynamics on the solvable non-abelian Baumslag-Solitar groups BS(1,N), N>=2, through the comprehension of how the structure of said groups forces some particular behavior of configuration of the BS(1,N)-full-shift, as well as how to take advantage of the geometric structure of the groups in order to make constructions. We define substitutions on Baumslag-Solitar groups, and give a version of Mozes theorem [17], stating sufficient conditions under which a certain subclass of substitutive subshifts are sofic. Then, we study a particular family of subshifts, called the "Graph-coloring subshifts" which are motivated by the concept of a proper coloring in graph theory. For this family we study non-emptiness, extensibility of patterns, bounds on their entropy and mixing properties. Next we study a class of BS(1,N)-subshifts obtained from Z-subshifts, obtaining results relating the entropies of both systems, and the approximability of the BS(1,N)-subshift's entropy through the entropies of a corresponding family of Z-subshifts, called the m-strip subshifts. Finally, we study the projective subdynamics of BS(1,N)-SFTs, based on the work of R. Pavlov and M. Schraudner [18], and giving conditions for the realization of sofic Z-subshifts as projective subdynamics of a BS(1,N)-SFT.