Asymptotic description of dynamics in plasma and water-waves type models

Abstract

Esta tesis está dedicada al estudio de la dinámica asintótica en varios modelos de fluidos de interés clave. Estos están por un lado relacionados con la ecuación clásica de Schr\"odinger y por otro lado pueden derivarse del modelo de Zakharov Water Waves, en la formulación de Craig-Sulem-Zakharov. Precisamente, los modelos a considerar aquí son los siguientes: la ecuación no lineal de Schr\"odinger (NLS) y Hartree, los sistemas de Zakharov y Klein-Gordon-Zakharov, el sistema de Zakharov-Rubenchik/Benney-Roskes, y finalmente, el problema de Water Waves de Zakharov. Todos estos modelos se analizan en una dimensión, muy interesante debido a la falta de estimaciones nolineales dispersivas adecuadas. Además, en términos de preguntas clave, esta tesis se divide en tres partes principales: una primera parte donde las estimaciones viriales locales proporcionarán decaimiento en conjuntos de espacio compactos, una segunda donde las estimaciones viriales que se expanden en el tiempo permiten demostrar propiedades de dispersión para sistemas físicos que no han sido tratados, y finalmente, una parte constructiva relacionada con la existencia de ondas solitarias no lineales en Water Waves de fondo variables. En primer lugar, el Capítulo \ref{chp:NLS-Hartree} está dedicado al estudio de las ecuaciones NLS (con y sin potencial) y Hartree. Consideramos la propiedad de decaimiento como una forma de dispersión no lineal. Usamos identidades viriales para probar dispersión en intervalos compactos en espacio en condiciones de imparidad (y a veces, pequeñez) para el dato inicial. Los sistemas de Zakharov y Klein-Gordon-Zakharov se consideran en el Capítulo \ref {chp:Zakh-KGZakh}, donde probamos dos tipos de decaimiento: uno en intervalos compactos alrededor del origen y otro para la norma de energía en intervalos compactos a lo largo de curvas fuera del cono de luz. No se imponen condiciones de imparidad para el segundo resultado. El Capítulo \ref{chp:ZR/BR} analiza las propiedades de decaimiento del sistema Zakharov-Rubenchik / Benney-Roskes utilizando diferentes técnicas viriales. Esta vez, queremos mostrar un fuerte decaimiento local en extensas regiones del espacio, desconocidas para los modelos anteriores. Aprovechando las curvas características subyacentes para la ecuación en estudio, se introduce un nuevo método virial para probar un resultado de dispersión en intervalos compactos crecientes alrededor de estas curvas. También demostramos la dispersión de la norma de enería a lo largo de las curvas fuera del cono de luz. La parte principal de esta tesis es el Capítulo \ref{chp:ZWW}, que trata el problema de onda solitaria para la ecuación ondas de agua de Zakharov, bajo un dominio variable. Asumimos un fondo no plano ligeramente cambiante. Adaptando y ampliando las técnicas introducidas por Martel, y por Ming, Rousset y Tzvetkov, probamos la existencia de una solución tipo solitón para el problema de fondo no plano antes de que encuentre el régimen de interacción fuerte. El problema de las colisiones sigue siendo la principal pregunta abierta a considerar en el futuro. Finalmente, el Capítulo \ref{chp:concl} está dedicado a la conclusión de este trabajo, así como a nuevas ideas y proyectos futuros, algunos esquivos durante estos años.