Description of local and non-local equations using Deep Learning Techniques

Abstract

En este trabajo se aborda la ecuación de Kolmororov mediante técnicas de aprendizaje profundo, en esencia se muestran dos resultados de interés independiente. En efecto, estudiamos la aplicación de las técnicas actuales de redes neuronales en la aproximación de soluciones EDPs no locales y en espacios de dimensión infinita. Con esto, generalizamos el trabajo de Hure, Pham y Warin en [HPW19] en dos direcciones particulares. Comenzamos introduciendo la ecuación de Kolmogorov lineal en $\Rd$ y su relación con las ecuaciones estocásticas. Destacamos la importancia de esta relación para el desarrollo de esquemas estocásticos para resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDPs). Dado que nuestro marco es general, requerimos de las recientemente desarrolladas DeepOnets [LMK21] para describir en detalle el procedimiento de aproximación. Estos objetos actúan como una generalización de las Redes Neuronales a un contexto de dimensión infinita.