Contribuciones al estudio de promedios ergódicos aleatorios

Abstract

El objetivo de este trabajo es estudiar la convergencia de promedios ergódicos aleatorios. Este tipo de promedios ergódicos corresponde a una variante de las versiones deterministas en las que la secuencia de enteros a través de la que se itera es una secuencia de enteros aleatoria, la que se construye a partir de una sucesión de variables aleatorias independientes a valores en 0 y 1. Los resultados que se conocen en esta área son bastante limitados, y la hipótesis de independencia es transversal en los resultados conocidos. En esta tesis se define una clase de variables aleatorias, denotada por $\mathcal{D}$, clase en la que hay cierto control sobre las covarianzas del proceso. Esta familia contiene estrictamente a los procesos independientes, y además se caracterizan dos tipos de procesos que pertenecen a esta clase. El resultado principal de esta tesis es que se logra extender un resultado de convergencia para promedios ergódicos aleatorios a secuencias aleatorias construidas a partir de variables aleatorias que no son necesariamente independientes. Adicionalmente, se discuten relaciones de este resultado con versiones aleatorias de promedios Wiener-Wintner y consecuencias en dinámica topológica.

En el primer capítulo se exponen nociones generales de los sistemas dinámicos, tanto en el sentido medible como topológico, y se introducen algunos elementos clásicos de la teoría de probabilidad. El segundo capítulo se enfoca en introducir el estudio de promedios en teoría ergódica, visitando algunos de los resultados más importantes, tanto en versiones clásicas y múltiples, para luego introducir el estudio de promedios ergódicos aleatorios y exponer los resultados conocidos en el área. La parte principal de este trabajo se desarrolla en el capítulo 3, en el que primeramente se introduce una clase de procesos aleatorios, se prueban algunas propiedades, y se demuestra el resultado de convergencia de promedios ergódicos aleatorios para procesos no independientes. En el capítulo 4 se discuten variantes al resultado obtenido en el sentido de promedios del tipo Wiener-Wintner y se obtiene una consecuencia en recurrencia topológica. Finalmente, en el capítulo 5 se exponen algunas ideas finales del trabajo, se exponen algunas posibles extensiones y problemas abiertos en torno al tema de esta tesis.