Interval maps with singularities and critical points of inflection type

Abstract

En este trabajo de tesis estudiamos la regularidad de funciones unimodales del intervalo, analizando medidas invariantes, a través de los exponentes de Lyapunov y su regularidad, exponentes de Lyapunov puntual y la recurrencia hacia el conjunto singular. Presentaremos una nueva familia de funciones unimodales que es combinatorialmente completa, presenta una singularidad de tipo Lorenz en el punto de doblez y dos puntos críticos de inflexión planos. Como esta familia es combinatorialmente completa, podemos encontrar un representante con cualquier combinatoria admisible. De particular interes serán las funciones con combinatoria de Fibonacci, la cual estudi aremos utilizando herramientas analíticas, medibles y combinatoriales. Para este tipo de combinatoria construimos una medida ergódica e invariante cuyo exponente de Lyapuno no está definido, más aún, para casi todo punto con respecto a esta medida el exponente de Lyapunov puntual no está definido. Finalmente, presentamos una nueva familia de funciones unimodales con dos puntos críti cos no-planos que son de inflexión y la geometría del punto de doblez cambia de forma con tinua de ser un punto crítico a ser una singularidad de tipo Lorenz. En esta familia podemos encontrar a la familia cuadrática, y cuando el punto de doblez no es una singularidad de tipo Lorenz, la familia tiene derivada Schwarziana negativa. Proponemos un estudio sistemático de esta familia planteando algunas preguntas que surgen de la observación de diferentes fenomenos presentes en experimentos hechos para familias estudiadas anteriormente.