Persistencia en un sistema competitivo con estructura etaria

Abstract

En el presente trabajo se estudia un sistema de reacción-difusión que modela la interacción de dos especies que habitan en una misma región. Cada una de las especies cuenta con dos grupos etarios (adultos y jóvenes) y entre ellas interactúan compitiendo. Este sistema corresponde a una variante del modelo propuesto por Cosner, Cantrell y Martinez en [1], en el cual se estudia la dinámica de una especie en la que se diferencian dos grupos etarios. En este trabajo analizaron la existencia de un equilibrio positivo, la que se caracteriza a través de la linealización del sistema en torno al origen. Estos autores también estudiaron el perfil del equilibrio de coexistencia para difusiones pequeñas y coeficientes heterogéneos, conectando el sistema difusivo con el comportamiento asintótico del sistema sin difusión. En esta memoria, se extiende el trabajo de los autores mencionados, considerando dos especies con el mismo tipo de estructura etaria utilizado en [1], las cuales compiten entre ellas. El objetivo es estudiar como los coeficientes del sistema, ya sean los de competencia entre especies, los de cooperación entre los grupos de una misma y las tasas de difusión afectan el comportamiento asintótico de las soluciones. En particular se busca probar si hay convergencia a un equilibrio y si hay equilibrios de coexistencia para ambas especies. Se partirá estudiando el caso no difusivo y a coeficientes constantes, es decir, cuando el modelo corresponde a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de 4x4. Para este caso se establece como las diferentes relaciones entre los coeficientes caracterizan el comportamiento asintótico de las soluciones. Luego, se incluirá difusión, lo que modela el movimiento de las especies, tanto en su fase adulta como joven, en el dominio. En este caso, se probará que todos los equilibrios son homogéneos y también se estudiará el comportamiento asintótico del sistema, el cual será similar al caso sin difusión. Finalmente, se considerará el caso en que los coeficientes son heterogéneos en el espacio, con los coeficientes de difusión pequeños, caracterizando el comportamiento asintótico de equilibrios de coexistencia, cuando las difusiones se acercan a 0. Para obtener estos resultados, se utilizará la teoría de los sistemas dinámicos monótonos, que será fundamental para determinar convergencia de las soluciones del problema de valor inicial a un equilibrio. Además, extenderemos resultados que permiten caracterizar el comportamiento de equilibrios de un sistema elíptico monótono singularmente perturbado. Para esto será clave usar las técnicas basadas en sub/supersoluciones y caracterizaciones del valor propio principal de operadores elípticos.