Selecciones medibles y aplicaciones a funcionales integrales

Abstract

En esta tesis, se extiende un resultado de Azagra y Ferrera (en \cite{MR1920049}), el cual muestra que todo conjunto convexo y cerrado en un espacio de Banach separable puede expresarse como el conjunto de minimizadores de una funci\'on convexa, infinitamente diferenciable y positiva, esto se extiende a una versión aleatoria en un contexto de multifunciones, en donde, bajo ciertas hip\'otesis, se logra dar una representaci\'on suave de tal multifunci\'on, adem\'as esto permite deducir resultados relacionados a la aproximaci\'on suave de multifunciones y funciones en alg\'un sentido. Por otra parte, se extiende la f\'ormula de la conjugada de Fenchel de un funcional integral cuando el espacio de Banach es general (no necesariamente separable), y sus consecuencias directas.

El primer cap\'itulo de esta tesis entrega herramientas preliminares que ser\'an \'utiles para el posterior desarrollo. En el segundo cap\'itulo se introduce el concepto de multifunci\'on pseudo-d\'ebil semicontinua superior (p-w usc) para luego mostrar el resultado de representaci\'on suave de una multifunci\'on aleatoria $M\colon\Omega\times H\tto X$ que cumple dicha noci\'on de semicontinuidad e hip\'otesis adicionales, adem\'as se describen casos particulares de ese Teorema y tambi\'en se muestran resultados de aproximaci\'on suave de multifunciones y funciones que se deducen a partir del mismo. Por \'ultimo, en el tercer cap\'itulo se parte mostrando una f\'ormula de intercambio integral sobre el espacio de funciones continuas bajo el supuesto de semicontinuidad inferior de la multifunci\'on ep\'igrafo del integrand. Luego, se introduce la noci\'on de Lusin integrand e integrand admisible, y enseguida se muestra la f\'ormula de la conjugada de Fenchel cuando el integrand es admisible en un Banach no separable, luego, se calcula el $\epsilon$-subdiferencial del funcional integral en el caso donde el funcional se define sobre el espacio de funciones $p$-integrables. Finalmente, se muestran algunas aplicaciones de los resultados previos, por una parte se muestra el c\'alculo del subdiferencial de Clarke del funcional integral. También se dan condiciones de optimalidad a un problema de c\'alculo de variaciones, y también se prueba la equivalencia de dos formulaciones referentes al sweeping process.