Development and simulation for a wall identification algorithm based on velocity measurements

Abstract

En el contexto de imágenes médicas, la recuperación no invasiva de la geometría de vasos sanguíneos a partir de mediciones de velocidad por MRI, es muy importante para el desarrollo de nuevas herramientas de análisis no invasivo para enfermedades cardíacas. Se trata de un problema inverso geométrico: recuperar parte de la frontera de un dominio móvil a partir de mediciones solamente de la velocidad del flujo y no de la presión.

Existen resultados parciales de la implementación práctica de este problema inverso en el caso de paredes estáticas y a partir solo de mediciones de flujo de salida por un borde. Sin embargo, falta desarrollar un algoritmo eficiente que utilice información parcial al interior del dominio y extienda los resultados al caso de una pared móvil. De este modo, el objetivo principal del presente trabajo es proponer e implementar un algoritmo para recuperar la forma de una pared arterial móvil que contiene a un fluido, a partir de mediciones de velocidad en un subdominio arbitrario.

En una primera parte, se propone una extensión del algoritmo existente de recuperación de una pared estática usando mediciones de borde al caso de mediciones de velocidad sobre cualquier subdominio distribuido espacialmente. Para ello es necesario resolver las ecuaciones de Navier-Stokes estacionario utilizando conceptos de derivación con respecto del dominio.

Enseguida, se propone un algoritmo para la recuperación de una pared móvil en el caso más complejo no-estacionario, lo que requiere una implementación de las ecuaciones de Navier-Stokes en interacción con estructuras en el formalismo Arbitrary Lagrangian-Euler (ALE). Para resolver el problema inverso, se plantea un problema de minimización del error de ajuste de la forma respecto a una velocidad de referencia. En la minimización, se utiliza la derivada de forma para la expresión del gradiente del funcional. El problema no estacionario se modela de hecho como un sistema quasi-estacionario en un algoritmo iterativo en el tiempo que permite resolver el caso de identificar una pared móvil.

Las simulaciones numéricas se realizan mediante la librería Fenics para la formulación de los problemas de Navier-Stokes, la cuál se realiza en dos dimensiones. En la minimización, se utiliza el algoritmo Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno y se desarrolla en el lenguaje Python.

El análisis de esta tesis se puede extender a otros problemas de identificación de paredes móviles más complejos como por ejemplo el caso tridimensional o considerando una pared elástica. Este primer estudio más simple ha permitido contribuir al estudio de la estimación no invasiva de la deformación de vasos sanguíneos.