Contribución al estudio de la parcial rigidez de sistemas de Cantor

Abstract

El objetivo de esta tesis es estudiar la parcial rigidez de sistemas de Cantor minimales de rango finito y en particular los sistemas substitutivos. Se da énfasis al desarrollo de condi- ciones necesarias y suficientes para tener parcial rigidez y en el cálculo de las constantes de parcial rigidez. Un sistema dinámico abstracto (X,B,μ,T) es parcialmente rígido si existe γ∈(0,1]yunasubsucesión(nk)k∈N ⊆NtalqueparatodoA∈B,limμ(A∩T−nkA)≥γμ(A). Además, llamamos constante de parcial rigidez al supremo de las constantes que cumplen lo anterior, y la denotamos δμ. Al representar los sistemas de Cantor minimales de rango finito a través de un diagrama de Bratteli, se entrega una condición necesaria y suficiente para que estos sistemas sean parcial- mente rígidos (Teorema 2.21). Esta condición utiliza torres de Kakutani-Rokhlin engendradas por palabras especiales definidas desde cada nivel del diagrama. A partir de esa condición se deducen criterios suficientes que involucran herramientas clásicas en la literatura: criterio de alturas (Teorema 2.26), criterio de orden (Teorema 2.31), criterio de palabras de retorno (Teorema 2.41) y criterio algebraico (Teorema 2.53). Cabe destacar que todos estos criterios son útiles para determinar si estos sistemas no son mezcladores fuertes para la medida. Como consecuencia de lo anterior, se estudian criterios necesarios y suficientes para la rigidez de los sistemas simbólicos de rango finito, es decir, cuando γ = 1. Estos criterios, en su mayoría, involucran a la complejidad del sistema, pΩ(n), y a la cantidad de palabras completas de largo n, qΩ(n). En particular, los sistemas dados por substituciones de largo constante son rígidos en medida si y sólo si lim sup qΩ(n)/pΩ(n) = 1 (Corolario 3.17). Además, para sistemas Sturmianos, se demuestra que existe una sucesión creciente (rn)n∈N tal que para todo n ∈ N, pΩ(rn +1)−qΩ(rn +1) = 2 (Teorema 3.18). Esto último recupera que los sistemas Sturmianos son rígidos en medida. Por último, utilizando nuevamente las torres de palabras, se encuentra una expresión para la constante de parcial rigidez δμ de sistemas de Cantor minimales de rango finito. Gracias a dicha caracterización, se logra demostrar que en esta clase de sistemas el supremo que define a δμ es un máximo (Teorema 4.3). Posteriormente, se logra simplificar la expresión anterior para sistemas substitutivos de largo constante (Teorema 4.5). Esta fórmula permite calcular la constante de parcial rigidez de varios sistemas substitutivos, en particular, para la substitución de Thue-Morse este valor es 2/3 , lo cual era desconocido hasta el momento. A su vez, se demuestra que una gran familia de sistemas substitutivos, que llamamos de tipo Thue- Morse, no son rígidos en medida y se entrega una cota superior para su constante de parcial rigidez (Teorema 4.13). Finalmente, se demuestra que el número 1 es punto de acumulación para el conjunto de las constantes de parcial rigidez de las substituciones (Corolario 4.15).