Topological mechanics of hyperstatic metamaterials

Abstract

La mecánica topológica es un campo emergente que combina conceptos de la mecánica clásica y las fases topológicas de la materia estudiadas en la teoría de la materia condensada. En este campo, la topología no trivial de la materia y los estados topológicamente protegidos se extienden a sistemas mecánicos diseñados artificialmente para mostrar respuestas mecánicas específicas, denominados metamateriales mecánicos. Dentro de este contexto, el estudio de los modos topológicamente protegidos a frecuencia cero ha recibido un interés particular, típicamente en sistemas en los que el número de restricciones está equilibrado con el número de grados de libertad, denominados sistemas isostáticos. En cambio, en esta tesis nos centramos en sistemas que tienen más restricciones que grados de libertad, denominados sistemas hiperestáticos, que son más rígidos y estables que los isostáticos. Comenzamos revisando el marco topológico de los modos de frecuencia cero y, en concreto, revisamos la cadena isostática, que admite modos topológicamente protegidos a frecuencia cero y surge como un análogo mecánico para un modelo de aislante topológico prototípico, el modelo Su-Schrieffer-Heeger, el cual admite estados de energía cero. Más adelante introducimos la cadena hiperestática, un sistema hiperestático inspirado en la cadena isostática que también puede caracterizarse topológicamente por un número de enrollamiento, y donde la interfaz entre dos cadenas topológicamente distintas, el sistema admite modos topológicamente protegidos de baja frecuencia exponencialmente localizados en la interfaz. A continuación, introducimos la generalización de la cadena hiperestática a un sistema compuesto por una superposición de múltiples cadenas hiperestáticas. Aqui concluimos que es posible caracterizar topológicamente el sistema siempre que las cadenas en la composición compartan ciertas relaciones geométricas y como consecuencia de esto, cada cadena en la composición diferirá en su rigidez. En este contexto, una interfaz entre dos sistemas de cadenas múltiples topológicamente distintos, admite estados topológicamente protegidos de baja frecuencia , independientemente del número de cadenas en la composición. Por último, estudiamos un sistema compuesto por una cadena hiperestática geométricamente uniforme pero con una interfaz de elasticidad que también admite un estado exponencialmente localizado en la interfaz y que proponemos pueda clasificarse topológicamente a futuro. Finalmente, en el régimen no lineal, se muestra que la cadena hiperestática exhibe un comportamiento solitónico en el límite de rigidez total de un resorte, como también se encontró en la versión isostática. Hemos demostrado la existencia de modos topológicamente protegidos en un sistema donde el número de restricciones puede ser indefinidamente mayor que el número de grados de libertad y esperamos que nuestro trabajo pueda servir para explorar nuevos sistemas topológicos en el régimen hiperestático.