Contribuciones al estudio del problema de Katznelson para acciones de grupos generales

Abstract

Propiedades de recurrencia en sistemas dinámicos y los conjuntos de enteros asociados son conceptos clásicos en dinámica topológica. En esta área, la pregunta de Katznelson surge como una pregunta abierta de larga data sobre recurrencia, con fuertes vínculos históricos y matemáticos con problemas abiertos en combinatoria y análisis armónico. Más precisamente, Katznelson pregunta si los conjuntos de Bohr recurrencia (recurrencia para rotaciones en toros de dimensión finita) son conjuntos de recurrencia para $\Z$-acciones minimales.\\ El objetivo de este trabajo es estudiar la pregunta de Katznelson para acciones de grupos generales. Los resultados conocidos en este problema son escasos y pareciera no haber consenso entre los expertos sobre una respuesta esperada. Sin embargo, este problema ha sido intensamente estudiado en la clase de los $\Z$-nilsistemas, una clase de sistemas de origen algebraico que generaliza las rotaciones en el toro. Host, Kra y Maass probaron en 2016 \cite{HKM16} que los conjuntos de $\Z$-Bohr recurrencia son conjuntos de recurrencia para cada $\Z$-nilsistema minimal. En el mismo artículo, ellos también prueban que las extensiones proximales levantan la $\Z$-Bohr recurrencia.\\ En esta tesis generalizamos parte del progreso en este problema para acciones de grupos más generales que $\Z$. Primeramente, nos concentramos en recurrencia para acciones $G$ en un espacio métrico compacto $X$, donde $G$ es un grupo abeliano localmente compacto de homeomorfismos de $X$. En este contexto planteamos la pregunta de Katznelson presentando algunas preguntas equivalentes y demostrando que los límites inversos y las extensiones proximales levantan la recurrencia, generalizando los resultados presentados en \cite{HKM16} para $\Z$-acciones. Luego, exploramos esta pregunta en $\Z^d$-nilsistemas, donde describimos el principal problema al intentar generalizar la demostración de \cite{HKM16} para $\Z$-nilsistemas, y resolvemos tal problema en dos casos. En el primero, estudiamos la relación entre Bohr recurrencia y los cubos dinámicos introducidos en \cite{CDM19} para $\Z^d$-sistemas, dando caracterizaciones de los conjuntos de Bohr recurrencia y definimos la noción de fuerte propiedad de cierre, demostrando que los conjuntos de Bohr recurrencia son conjuntos de recurrencia para $\Z^d$-nilsistemas con esta propiedad. En el segundo, abordamos el problema en la familia de $\Z^d$-nilsistemas donde la componente conexa de la identidad en $G$ es abeliana. Para esto, introducimos la noción de correlaciones de Bohr, con la cual desarrollamos técnicas de clasificación de conjuntos de $\Z^d$-Bohr recurrencia, reduciendo el problema al contexto más apropiado, y demostramos que los conjuntos de $\Z^d$-Bohr recurrencia son conjuntos de recurrencia en esta familia.