Dinámica de kinks para campos de Yang-Mills sobre espacio-tiempos hiperbólicos

Abstract

Comprender la estructura de la naturaleza desde la física a menudo plantea problemas profundos que desafían las capacidades de las matemáticas. Dos ejemplos emblemáticos son la formulación de la relatividad general y la búsqueda de una teoría cuántica de campos para explicar las interacciones entre partículas. En este contexto, la teoría de Yang-Mills se erige como una formulación pionera para una teoría de gauge no-abeliana, con un fructífero desarrollo y estudio en ambas áreas.

El objetivo principal de esta tesis es estudiar la estabilidad asintótica de ciertas soluciones para un modelo de campo de Yang-Mills sobre $SU(2)$, bajo una geometría determinada por el exterior de un agujero negro tipo Reissner-Nordstr\"om. La tesis está compuesta por 3 capítulos. El primero consiste en una breve y concisa introducción a los tópicos generales en que se enmarca el trabajo realizado, sirviendo para presentar el contexto físico donde surge el problema a estudiar. En el Capítulo 2 consideramos el modelo de Yang-Mills $SU(2)$ sobre el exterior de un agujero negro extremal Reissner-Nordstr\"om, empleando un ansatz de un campo esféricamente simétrico puramente magnético, originalmente propuesto por Bizo\'n y Kahl [8]. Estudiamos en mayor detalle la dinámica del kink $H(x) = \tanh(x/2)$, siendo la primera solución estática no trivial del modelo. El operador lineal asociado posee un único valor propio negativo, sugiriendo una alta inestabilidad de $H$. Mediante el uso de identidades viriales siguiendo el espíritu de Kowalczyk, Martel, Muñoz, y Van Den Bosch, probamos estabilidad asintótica condicional para perturbaciones en el espacio de energías $\boldsymbol{E_H}$. En la sección 4 realizamos una primera estimación con un virial a gran escala. Necesitando un mayor control, en la sección 5 estudiamos un segundo virial empleando una dualización del problema, en las secciones 6 y 7 demostramos unas estimaciones técnicas y controlamos terminos no lineales del segundo virial. En la sección 8 obtenemos una estimación del problema dual y por último, en la sección 9 concluimos el teorema principal. A diferencia de trabajos anteriores, nuestro resultado se basa en un estudio detallado del operador $L$, desarrolado en las secciones 10 y 11, modificaciones a estimaciones técnicas desrrolladas en la sección 6, además de modificaciones de viriales ampliamente empleado en la literatura. Concluimos en el Capítulo 3 con un repaso del trabajo desarrollado y mención a posibles trabajos futuros.

Comprehending the structure of nature from physics often raises deep problems that challenge the capabilities of mathematics. Two emblematic examples are the formulation of general relativity and the research for a quantum field theory to explain particle interactions. In this context, the Yang-Mills theory stands as a pioneer formulation for a non-Abelian gauge theory, with fruitful development in both areas. The main objective of this thesis is to study the asymptotic stability of particular solutions for a Yang-Mills field model on SU(2), under a geometry determined by the exterior of an extremal Reissner-Nordström black hole. This thesis is composed of 3 chapters. The first consists of a brief and concise introduction to the general topics related to the research, presenting the physical context where the problem to be studied arises. In Chapter 2, we consider the SU(2) Yang-Mills model on the exterior of a Reissner- Nordström extremal black hole, employing an ansatz of a purely magnetic spherically symmetric field, proposed initially by Bizoń and Kahl [8]. We study in detail the dynamics of the kink H(x) = tanh(x/2), being the first non-trivial static solution of the model. The associated linear operator has a unique negative eigenvalue, suggesting a high instability of H. In section 4 we perform a first estimation with a large-scale virial. Requiring more control, in section 5 we study a second virial using a dualization of the problem, in sections 6 and 7 we demonstrate some technical estimates and control for non-linear terms of the second virial. In section 8 we obtain an estimate of the dual problem, and finally, in section 9 we conclude the main theorem. In contrast to previous works, our result is based on a detailed study of the linear operator L, developed in sections 10 and 11, modifications to technical estimates developed in section 6, and modifications of virials widely used in the literature to capture the specific features of the model. We conclude in Chapter 3 with a review of the thesis and a mention of possible future works.