Análisis funcional en estructuras asimétricas

Abstract

Esta tesis, titulada “An´alisis funcional en estructuras asim´etricas”, consiste en el estudio de distintos tipos de estructuras de naturaleza asim´etrica, ya sea en relaci´on a una estructura m´etrica, algebr´aica, diferencial, o a una combinaci´on de ellas, teniendo las asimetr´ıas m´etricas un rol protag´onico. Algunos ejemplos de estas estructuras incluyen a los espacios normados asim´etricos, en los cuales un espacio vectorial real E es dotado de una funci´on p que satisface todas salvo una de las condiciones necesarias para ser una norma, lo cual permite que los valores de p(v) y p(−v) puedan diferir para algunos puntos v ∈ E. Esta noci´on puede generalizarse a´un m´as relajando la estructura algebr´aica del espacio vectorial, reemplazando el grupo aditivo por un monoide (el cual puede no poseer inversos aditivos), y restringiendo el producto por escalar a los escalares no-negativos. Esto da origen a la noci´on de cono normado. Otro ejemplo interesante son las variedades de Finlser, las cuales tienen la misma estructura diferencial de una variedad suave de dimensi´on finita, pero cada uno de los espacios tangentes est´a dotado de una norma asim´etrica, en contraste de las normas generadas por productos internos usados en las variedades Riemannianas. Estos ejemplos pueden ser estudiados en el contexto de los espacios cuasi-m´etricos, los cuales son una generalizaci´on de los espacios m´etricos en la que la funci´on distancia cumple todas las condiciones necesarias para ser una m´etrica a excepci´on de la simetr´ıa, en el sentido de que la distancia entre dos puntos a y b puede no coincidir con la distancia entre b y a. Quitar esta hip´otesis permite una mayor flexibilidad en las situaciones que pueden ser modeladas con este concepto, pero tiene la desventaja de que pueden perderse herramientas y resultados conocidos en espacios m´etricos. Nuestro estudio de estas estructuras asim´etricas se realiza usando herramientas y nociones inspiradas por el an´alisis funcional cl´asico. En especial, la idea de utilizar alguna estructura en un espacio de funciones a valores reales F(X) sobre un conjunto X para determinar alguna propiedad sobre el conjunto X est´a presente en la mayor´ıa de los resultados de este trabajo. El Cap´ıtulo 2 contiene todas las definiciones y nociones preliminares necesarias. El Cap´ıtulo 3 presenta una caracterizaci´on de casi isometr´ıas entre variedades de Finsler, la cual fue publicada en [17]. El Cap´ıtulo 4 trata sobre una generalizaci´on del concepto de espacio Lipschitz-libre al contexto de los espacios cuasi-m´etricos, la cual se public´o en [18]. El Cap´ıtulo 5 se divide en dos secciones: la Secci´on 5.1 da una generalizaci´on del cl´asico teorema de Myers-Nakai al caso asim´etrico de las variedades de Finsler. Este resultado requiri ´o definir nuevas estructuras asim´etricas (llamadas semianillo-c´onico y ´algebra normada asim´etrica extendida), las cuales son luego utilizadas en la Secci´on 5.2 para demostrar un teorema tipo Banach-Stone abstracto para espacios m´etricos. Palabras clave: Espacios cuasi-m´etricos, espacios normados asim´etricos, cono normado, variedad de Finsler, isometr´ıas, casi isometr´ıas, funciones Lipschitz, funciones semi-Lipschitz, espacio libre asim´etrico, teoremas tipo Banach-Stone.

This thesis, entitled “Functional analysis in asymmetric structures”, consists of the study of different types of structures of asymmetric nature, related to metric, algebraic and differential structures, as well as combinations of them, with metric asymmetries playing a central role. Some examples of these structures include asymmetric normed spaces, where a real linear space E is endowed with a function p satisfying all but one of the conditions required to be a norm, which allows for the values of p(v) and p(−v) to differ for some points v ∈ E. This notion can be generalized further by relaxing the algebraic structure of the linear space, by replacing the additive group with a monoid (which may lack additive inverses), and restricting scalar multiplication to non negative scalars. This gives rise to the notion of normed cones. Another interesting example are Finsler manifolds, which share the differential structure of finite-dimensional smooth manifolds, but each tangent space in the tangent bundle of the manifold is endowed with an asymmetric norm, as opposed to the inner product norms used in Riemannian manifolds. These examples, as well as most of the structures studied in this work, can be viewed in the framework of quasi-metric spaces, which are a generalization of metric spaces in which the distance function satisfies all the conditions required to be a metric except one: the distance function does not need to be symmetric, in the sense that the distance between two points a and b may differ from the distance between b and a. Dropping the assumption of symmetry from the definition of a metric offers a greater degree of flexibility regarding situations that can be modeled using this concept, at the expense of losing some of the tools and results known for metric spaces. Our study of these asymmetric structures is carried out using tools and notions inspired by classical functional analysis. In particular, the idea of employing some structure on a space of real-valued functions F(X) over a set X to determine some property on the set X itself is present in most of the results of this work. Chapter 2 contains the necessary preliminary definitions and notions. Chapter 3 contains a characterization of almost isometries between Finsler manifolds, which was published in [17]. Chapter 4 deals with the construction of a generalization of Lipschitz-free spaces in the framework of quasi-metric spaces, which was published in [18]. Chapter 5 is divided in two sections: Section 5.1 gives a generalization of the classical Myers-Nakai theorem, which characterizes isometries between Riemannian manifolds, to the asymmetric case of Finsler manifolds. This result required the definition of new asymmetric structures (namely, conicsemirings and extended asymmetric normed algebras), which are then used in Section 5.2 to prove an abstract Banach-Stone type theorem for metric spaces.