A singular perturbation problem modelling amplitude walls of striped patterns

Abstract

El presente trabajo estudia el sistema de ecuaciones diferenciales que como modela el choque y transici´on de patrones rayados a trav´es de una pared de dominio utilizando como modelo las ecuaciones de amplitud. En el primer capitulo llamado introducci´on se entrega una noci´on general del origen de los problemas abordados en las siguientes secciones, adem´as de las preguntas y motivaciones que generan varias de las t´ecnicas utilizadas en este trabajo. En el segundo capitulo son introducidos sistemas com´unmente asociados a la formaci´on de patrones, como lo es la ecuaci´on de Swift-Hohenberg. Se presentan adem´as las nociones de inestabilidad lineal para el estado homog´eneo, fen´omeno que da origen a la generaci´on de patrones en estos sistemas no lineales. Posteriormente se realiza una derivaci´on de la ecuaci´on de amplitud para la descripci´on espacial y evoluci´on de estos patrones, lo que permite llegar a los problema estudiados en este texto, sistemas no lineales de ecuaciones que posee dos funciones como inc´ognitas a las que nos referiremos como u y v. En el tercer capitulo son presentados aquellos resultados matem´aticos que son considerados indispensables para realizar los procedimientos de los cap´ıtulos posteriores, esto con el fin de que pueda ser r´apidamente consultado y permita al lector una limpia vista del texto y de una forma auto-contenida. En el cuarto capitulo son expuestos todos aquellos procedimientos y resultados sobre los sistemas no lineales estudiados, en las secciones 4.1, 4.2 y 4.3 se demuestra la existencia de u0, v0 y v R 0 (este tercero para el caso perpendicular), funciones que son aproximaciones de soluciones del problema no lineal original, posteriormente, en la secci´on 4.4 se muestran los resultados num´ericos obtenidos mediante diferentes m´etodos para aquellos problemas los cuales no han podido ser enfrentados de forma satisfactoria utilizando las t´ecnicas anteriores.

This work focuses on studying a system of differential equations that models the collision and transition between stripe patterns across a domain wall using amplitude equations as a model. The first chapter, titled “Introduction”, provides a general overview of the origins of the problems addressed in the following sections, along with the questions and motivations that drive the various techniques used in this work. In the second chapter, we introduce systems commonly associated with pattern formation, including the Swift-Hohenberg equation. We also present the concept of linear instability for the homogeneous state, a phenomenon that gives rise to pattern generation in these nonlinear systems. Additionally, we derive the amplitude equation, which describes the spatial behavior and evolution of these patterns. This leads us to the problems studied in this text, specifically nonlinear systems of equations with two unknown functions denoted as u and v. The third chapter covers essential mathematical results necessary to carry out the procedures in the subsequent chapters. This is done to ensure quick accessibility and enable the reader to have a clear understanding of the text in a self-contained manner. In the fourth chapter, we present all the procedures and results related to the studied nonlinear systems. Sections 4.1, 4.2, and 4.3 demonstrate the existence of u0, v0, and v R 0 (the latter for the perpendicular case), which are functions that approximate solutions to the original nonlinear problem. Furthermore, section 4.4 provides numerical results obtained using different methods for those problems that have not been satisfactorily addressed using the previous techniques.