Martingalas locales en modelos de volatilidad estocástica

Abstract

El objetivo de este trabajo es precisar el comportamiento de la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas. Concretamente, se determinará si la solución es una martingala o una martingala local estricta. Esto, en el contexto de las matemáticas financieras, está relacionado con la existencia de burbujas financieras en el precio de cierto activo modelado por dicho sistema. El modelo estudiado corresponde específicamente a un modelo de volatilidad estocástica, donde el precio se representa por la exponencial estocástica de la volatilidad, que a su vez se rige según una ecuación diferencial estocástica, conocida como ecuación de volatilidad. Se ha estudiado anteriormente el comportamiento de la solución a esta ecuación cuando los coeficientes de difusión y de drift de la ecuación de volatilidad son potencias de la volatilidad. Este trabajo extiende dicho resultado al caso en que el drift de la ecuación de volatilidad se “comporta como una potencia” en infinito. La ecuación estudiada es, concretamente, dXt = σ α t XtdWt , X0 = x0 > 0 dσt = σ β t dBt + p(σt)dt, σ0 > 0, donde Xt es el proceso de precios del activo, σt corresponde a su volatilidad, Bt y Wt son movimientos Brownianos correlacionados y el drift p cumple con que l´ımx→∞ p(x) Kxδ = 1.