"Discretization-reduction in semi-infinite optimization and subdifferential calculus for supremum functions"

Abstract

El principal objetivo de esta tesis es proporcionar esquemas generales de discretizaci´on para problemas de optimizaci´on semi-infinita que permitan reescribirlos en problemas de optimizaci´on ordinaria. Los argumentos de reducci´on permitir´an a su vez que el n´umero de restricciones involucradas se reduzca como m´aximo a la dimensi´on del espacio m´as uno, siempre que el problema original se define en un contexto finito-dimensional. Las principales herramientas de esta parte son un nuevo teorema de tipo minimax (de dimensi´on finita), por un lado, y, por otro, nuevas reglas de c´alculo subdiferencial para la funci´on supremo definida en espacios localmente convexos (de dimensi´on infinita). Estas ´ultimas reglas se dan de forma expl´ıcita y exclusiva a trav´es de los datos. Nuestros resultados incluyen nuevos logros y tambi´en diferentes extensiones de resultados existentes en la literatura, como los establecidos para la teor´ıa de la discretizaci´on en [6], [24], [42], [53], y [55] entre muchos otros. En particular, obtenemos generalizaciones de [42] y [24]. Nuestro enfoque tambi´en conduce a nuevas caracterizaciones del subdiferencial de la funci´on supremo que ampl´ıan algunos resultados recientes en [16], [35] y [43]. Nuestro enfoque permite f´ormulas m´as expl´ıcitas ya que no apelamos al cono normal del dominio de esta funci´on surpemo sino directamente a las funciones involucradas. Aplicados a problemas de optimizaci´on, estos resultados nos proporcionan nuevas y generales condiciones de optimalidad, de tipo Fritz-John y KKT, que resaltan el papel que desempe˜nan las funciones cuasi-activas y no activas en el punto de referencia. Aplicamos los argumentos de discretizaci´on anteriores a problemas de optimizaci´on multiobjetivo semi-infinita para proporcionar caracterizaciones de soluciones d´ebilmente eficientes utilizando subproblemas que involucran funciones objetivo con un n´umero finito de funciones de dato. M´as precisamente, el n´umero de dichas funciones no debe exceder la dimensi´on del espacio m´as uno. Esto nos permitir´a dar extensiones de algunos de los resultados en [44], [49], [50] y [59]. La parte final de esta tesis trata de problemas de optimizaci´on cuadr´atica que generalizan la optimizaci´on cuadr´atica est´andar, donde el simplejo n-dimensional usual se reemplaza por una base convexa compacta de un cono convexo cerrado puntiagudo. Estableceremos un resultado de dualidad fuerte y proporcionaremos una forma expl´ıcita de la funci´on valor (perturbada) asociada con estos problemas, proporcionando as´ı una generalizaci´on de [3, Teorema 4]. Palabras claves: Optimizaci´on semi-infinita, funciones convexas, procesos de discretizaci´on y reducci´on, funci´on supremo, teor´ıa del subdiferencial y condiciones de optimalidad, teor´ıa de minimax.

The main objective of this thesis is to provide general discretization schemes for semiinfinite optimization problems that allow them to be rewritten into ordinary optimization problems. The reduction arguments will in turn allow the number of constraints involved to be reduced to at most the dimension of the space plus one. The main tools of this part are some new (finite-dimensional) minimax-type theorems, on the one hand, and, on the other, new subdifferential calculus rules for the subdifferential of pointwise suprema defined in (infinite dimensional) locally convex spaces. These last rules are given explicitly and exclusively through the data provided. Our results include new achievements and also different extensions of existing results in the literature, such as those established for the discretization theory in [6], [24], [42], [53] and [55] among many others. In particular, we obtain some consistent generalizations of [42] and [24]. Our approach also gives rise to new characterizations of the subdifferential of pointwise suprema that extend some recent results in [16], [35] and [43], and which constitute the main tool to obtain the aforementioned minimax theorems. Our analysis allows more explicit formulas since we do not appeal to the normal cone of the domain of these suprema but directly to the functions involved. Applied to optimization problems, these results provide us new and general optimality conditions of Fritz-John and KKT types, which highlight the role played by almost active and non-active constraints functions. We apply the above discretization arguments to multi-objective optimization problems to provide characterizations of weakly efficient solutions using subproblems involving finitely many objective functions. More precisely, the number of such functions must not exceed the dimension of the space plus one when the underlying setting is a finite dimensional. This will allow us to give extensions of some of the results in [44], [49], [50] and [59]. The final part of this thesis deals with quadratic optimization problems that generalize standard quadratic optimization, where the usual n-dimensional simplex is replaced by a compact convex base of a pointed closed convex cone. We will establish a strong duality result for this kind of problems and provide an explicit form of the associated value (or perturbed) function that results in a useful generalization of [3, Theorem 4]. Keywords: Semi-infinite optimization, convex functions, discretization and reduction processes, supremum functions, subdifferential and optimality theory, minimax theory