Refinamiento de mallas poligonales por inserción de puntos

Abstract

La generaci´on de mallas poligonales es un ´area ampliamente estudiada con aplicaciones en muchas disciplinas de la ingenier´ıa. Su capacidad para descomponer dominios complejos en partes m´as peque˜nas y f´aciles de manejar la convierten en una herramienta de especial inter´es en simulaciones f´ısicas. M´etodos num´ericos cl´asicos para resolver ecuaciones diferenciales trabajan exclusivamente sobre pol´ıgonos convexos, pero nuevos m´etodos como VEM (elementos virtuales) pueden trabajar sobre pol´ıgonos arbitrarios. Este trabajo se enmarca en un nuevo tipo de mallador llamado Polylla, que genera mallas de pol´ıgonos arbitrarios a partir de una triangulaci´on inicial. Esto las vuelve ´utiles para m´etodos como VEM, pero las inutiliza para los m´etodos cl´asicos como FEM (elementos finitos). Al ser un algoritmo nuevo, a´un no cuenta con procedimientos que permitan refinar este tipo de mallas, lo cual es una caracter´ıstica deseable en problemas de refinamiento adaptativo de mallas (o mesh adaptive refinement), donde las mallas son refinadas de manera local sobre ´areas que requieran mejorar la precisi´on. Dado esto, se busca implementar un m´etodo de refinamiento mediante inserci´on de puntos que trabaje sobre la triangulaci´on que el algoritmo recibe como input, y se busca implementar un algoritmo que transforme los pol´ıgonos c´oncavos de una malla Polylla en convexos, para poder hacer uso de estas mallas en los problemas que tengan el requisito de convexidad. Para refinar mediante inserci´on de v´ertices, se implementaron dos algoritmos de refinamiento de Lepp (Longest Edge Propagation Path), uno basado en la inserci´on de puntos en el centroide de un cuadril´atero y otro en el punto medio de una arista. Estos algoritmos tienen la capacidad de refinar sobre regiones arbitrarias definidas por el usuario, aunque tambi´en permiten realizar refinamientos de manera global. Para transformar las mallas Polylla a mallas puramente convexas, se utiliza un m´etodo de inserci´on de aristas basado en la triangulaci´on que Polylla recibe como input, tratando de obtener el m´ınimo n´umero de pol´ıgonos finales en la malla. Con esto se logra refinar de manera local y global cualquier tipo de triangulaci´on, con las triangulaciones de Delaunay siendo el caso m´as interesante e importante. El criterio de refinamiento establecido es el ´area de los tri´angulos, pero la soluci´on puede ser f´acilmente ampliable a otras m´etricas. Por ´ultimo, se logra refinar los pol´ıgonos c´oncavos en sus partes convexas, manteniendo un buen n´umero de pol´ıgonos finales respecto al entregado por las mallas Polylla.