Explorable sets and exit sets of the gaussian free field.

Abstract

El Campo Libre Gaussiano (GFF en adelante, por sus siglas en inglés) es una función aleatoria que se obtiene como una perturbación de una función armónica. Puede ser visto como una generalización del movimiento Browniano cuando el dominio temporal es reemplazado por uno d-dimensional. Muchas propiedades son generalizables a dimensiones altas, mientras que otras se pierden. Un objeto relevante en el estudio de la geometría del GFF es el de sus \textit{conjuntos de salida}. En d=1, se pueden definir como los intervalos aleatorios \A_{-a,b}=[0,\tau_{-a,b}] y \A_{-a}=[0,\tau_{-a}], donde a,b>0, y \tau_{-a,b} y \tau_{-a} son los tiempos de salida de [-a,b] y [-a,\infty) del movimiento Browniano estándar, respectivamente. En d=2, trabajos recientes han probado que \A_{-a,b} y \A_{-a} se pueden definir usando herramientas refinadas de geometría compleja y conjuntos aleatorios. Sin embargo, \A_{-a,b} existe si, y solo si a+b\geq\pi, lo que es consecuencia de que el GFF no es una función en d\geq2, sino que una distribución de Schwartz aleatoria. En d\geq3 no existen resultados sobre la existencia de \A_{-a,b} y \A_{-a}. La pregunta que guía esta tesis es ¿En qué dimensiones se puede hacer sentido de los conjuntos de salida del GFF?

Para poder resolver esta pregunta, describimos una propiedad básica que los conjuntos de salida deberían tener, aparte de las clásicas. Esta propiedad se introduce como una nueva propiedad para conjuntos aleatorios, que es más restrictiva que la de ser conjunto de parada: ser un \textit{conjunto explorable}. Informalmente, un conjunto aleatorio es \textit{explorable} si puede ser descubierto de una forma adaptada. En la primera parte de este trabajo, estudiamos esta noción desde un punto de vista abstracto, sin hacer referencia explícita al GFF. Específicamente, enunciamos y demostramos propiedades de los conjuntos explorables. Luego, relacionamos esta noción con el GFF, donde el resultado principal es que cierto observable de los conjuntos de salida tiene la distribución de los respectivos tiempos de salida del movimiento Browniano (\tau_{-a,b} para \A_{-a,b} y \tau_{-a} para \A_{-a}), en dimensión d arbitraria.

En la última parte de esta tesis, explicamos como la teoría de conjuntos explorables puede ayudar a contestar la pregunta sobre la existencia de los conjuntos de salida del GFF en d\geq3. Específicamente, proponemos un esquema de demostración basado en dos pasos, uno de los cuales es completamente riguroso y depende de dicha teoría. Finalizamos con avances en el otro paso, el cual involucra nociones y objetos provenientes de la teoría del potencial del movimiento Browniano. Demostrar ambos pasos resultaría en la no existencia de \A_{-a,b} en d\geq3 y \A_{-a} en d\geq7.

The Gaussian Free Field (GFF) is a random field obtained as a perturbation of a harmonic function. It can be viewed as a generalization of Brownian motion when the time domain is replaced by a d-dimensional one. Many properties remain valid in higher dimensions, while others are lost. An important object in the study of the geometry of the GFF is that of its exit sets. In d = 1, one can define them as the random intervals A−a,b = [0, τ−a,b] and A−a = [0, τ−a], where a, b > 0, and τ−a,b and τ−a are the exit times of [−a, b] and [−a,∞) of the standard Brownian motion, respectively. In d = 2, recent works have proven that one can define A−a,b and A−a using refined machinery of complex geometry and random sets. However, A−a,b exists if and only if a + b ≥ π, which is a consequence of the fact that the GFF is no longer an ordinary function in d ≥ 2, but a random Schwartz distribution. In d ≥ 3 there are no results about the existence of A−a,b and A−a. The question that drives this thesis is: ¿In which dimensions can we make sense of the exit sets of the GFF? In order to solve this question, we describe a fundamental property that the exit sets should have, apart from the classical ones. This is introduced as a new property for random sets, that is more restrictive than the stopping set property: being an explorable set. Informally, a random set is explorable if it can be discovered in an adapted way. In the first part of this thesis, we study this notion from an abstract point of view, without making explicit reference to the GFF. Specifically, we state and prove properties of explorable sets. Then, we relate this property to the GFF, where the main result is that a certain observable of the exit sets is distributed like the corresponding exit times of the Brownian motion (τ−a,b for A−a,b and τ−a for A−a), in arbitrary dimension d. In the last part of this thesis, we explain how the theory of explorable sets could help to answer the question about the existence of the exit sets of the GFF in d ≥ 3. Specifically, we propose a proof scheme based on two steps, one of them is completely rigorous and depends on such theory. We end this thesis by making progress in the other step, that involves notions and objects coming from potential theory of Brownian motion. Completing both steps would prove the non-existence of A−a,b in d ≥ 3 and A−a in d ≥ 7.