Dynamics on the thick points of the Gaussian free field

Abstract

El campo libre gaussiano (GFF por sus siglas en ingles) bidimensional es la generalización del movimiento browniano cuando el tiempo se sustituye por un dominio espacial. En las últimas décadas, el GFF ha sido un objeto de gran interés en el estudio de la teoría de probabilidades debido a sus conexiones con la geometría conforme aleatoria. Aunque el GFF en sí no es una función sino más bien una distribución de Schwartz, hay una buena comprensión de sus propiedades geométricas. A pesar de esto, se sabe relativamente poco sobre las dinámicas para las cuales el GFF es la medida invariante.

En esta tesis, investigamos las características geométricas de dos dinámicas naturales distintas que conservan la GFF como su distribución estacionaria. En concreto, nos centramos en los denominados puntos altos. A grandes rasgos, tales puntos se pueden entender como aquellos donde el GFF es del orden de su varianza en vez de su desviación estandar. Estos puntos son de gran interés ya que codifican la medida de Liouville del campo. Sorprendentemente, el comportamiento de estos puntos altos varía significativamente en función de la dinámica impuesta al GFF.

La primera dinámica que exploramos es el que denominamos como Ornstein-Uhlenbeck GFF (OU-GFF). Este proceso se puede entender como un proceso Ornstein-Uhlenbeck a valores GFF. Nuestro principal objeto de estudio en este contexto en este contexto es la función de altura. Esta cuantifica como varia la altura de un punto en el espacio a través del tiempo. Demostramos que, casi seguramente, para todo punto en el espacio, su función de altura es continua en el tiempo. Más aun, tal familia de funciones forman una familia equicontinua.

El principal resultado para el OU-GFF se refiere a la existencia de puntos en el espacio cuya función de altura coincide con una función determinista dada $f$. Establecemos que la existencia de tales puntos viene determinada por una energía explícita $\mathcal E$. En concreto, si $\mathcal E(f)>4$, tal punto no existe, mientras que si $\mathcal E(f)<4$, casi seguramente existen infinitos puntos en el espacio con $f$ como función de altura.

La segunda dinámica que examinamos es la solución de la ecuación del calor estocástica aditiva. En este caso, la función de altura no es continua. Sin embargo, demostramos que, a pesar de que un GFF típicamente no posee puntos más altos que $2$, es posible encontrar puntos con cualquier altura en el rango $[0,2\sqrt{2})$ bajo esta dinámica.

El resultado central para este segundo modelo implica el estudio de los momentos excepcionales en los que el campo exhibe puntos que tienen una altura estrictamente mayor a $2$. Demostramos que, casi con seguridad, no hay momentos en los que el campo tenga infinitos puntos que sean estrictamente más que 2-altos. De hecho, identificamos infinitas transiciones de fase en $\gamma>2$ convergentes a 2, correspondientes a momentos en los que hay a lo más $N$ puntos en el espacio que son $\gamma$-altos.

The 2-dimensional Gaussian Free Field (GFF) is the generalization of Brownian motion when time is replaced by a spatial domain. Over the past few decades, the GFF has become a central object of study in probability due to its profound connections with conformal geometry. Although the GFF itself is not a function and is best viewed as a Schwartz distribution, most of its geometric properties are well-understood. However, relatively little is known about the dynamics for which the GFF is an invariant measure. In this thesis, we investigate the geometric features of two distinct natural dynamics that preserve the GFF as their stationary distribution. Specifically, we focus on the so-called thick points —locations where the local average of the field behaves like the variance rather than the standard deviation. These points are of interest because they encode the Liouville measure of the field. Surprisingly, the behavior of these thick points varies significantly depending on the dynamics imposed on the GFF. The first dynamic we explore is what we call the Ornstein-Uhlenbeck GFF (OU-GFF). This process can be viewed as an Ornstein-Uhlenbeck with GFF values. Our primary object of study in this context is the thickness function, which quantifies how “thick” a point is at any given time and location in space. We prove that, almost surely, the thickness function is continuous in time for all points in space. Moreover, the family of thickness functions forms an equicontinuous family. The main result for the OU-GFF concerns the existence of points in space whose thickness function matches a given deterministic function f. We establish that the existence of such points is determined by an explicit energy E. Specifically, if E(f) > 4, no such point exists, while if E(f) < 4, there almost surely exists infinitely many points in space with f as its thickness function. The second dynamic we examine is the solution to the additive stochastic heat equation. In this case, the thickness function is not continuous. Nevertheless, we demonstrate that, even though a GFF typically does not possess points thicker than 2, it is possible to find points with any thickness in the range [0, 2 √ 2) under this dynamic. The central result for this second model involves the study of exceptional times when the field exhibits points that are strictly more than 2-thick. We prove that, almost surely, there are no times at which the field has infinitely many points that are strictly more than 2-thick. In fact, we identify infinitely many phase transitions in γ > 2 converging to 2, corresponding to times when there are more than N points in space that are γ-thick.