Aportes a la teoría algebraica de sistemas dinámicos: grupo de automorfismos virtual y extensiones proximales de nilsistemas

Abstract

El objetivo de esta tesis es estudiar los automorfismos de un sistema y las extensiones proximales de sistemas de orden $d$, desde el punto de vista de la teoría de Galois de sistemas dinámicos, usando el semigrupo envolvente como herramienta y objeto central.

El grupo de automorfismos ha sido extensamente estudiado en sistemas topológicos, especialmente en sistemas simbólicos. En \cite{Auslander_Glasner_virtual_automorphism:2021} introdujeron el grupo de automorfismos virtual y estudiaron sus propiedades. Además, definieron la noción de semiregularidad, que establece una relación entre el grupo de automorfismos virtual y el grupo de automorfismos del sistema. Una de las motivaciones de este trabajo de tesis es estudiar las propiedades algebraicas de este objeto y las consecuencias de la noción de semiregularidad sobre el sistema.

El segundo objeto de estudio son los nilsistemas minimales y sus extensiones proximales. En los últimos años, esta clase de sistemas ha sido de bastante interés por sus vastas aplicaciones. En particular, se han estudiado las propiedades algebraicas de los semigrupos envolventes de esta clase de sistemas. Uno de los objetivos de esta tesis es estudiar las propiedades algebraicas de las extensiones proximales de sistemas de orden $d$, usando la teoría de Galois de sistemas minimales.

En el primer capítulo se introducen las definiciones y propiedades de las nociones básicas de dinámica topológica.

En el segundo capítulo se introduce el grupo de automorfismos virtual y se estudia su comportamiento bajo el producto de sistemas minimales disjuntos. Se muestran caracterizaciones de la noción de semiregularidad y se demuestra que todo sistema minimal posee una extensión $N$-casi proximal semiregular, junto con una caracterización algebraica de las extensiones casi proximales. Además, se calcula el grupo de automorfismos virtual explícitamente para un sistema distal clásico.

En el tercer capítulo se introducen las definiciones y propiedades de los sistemas de orden $d$, junto a los cubos algebraicos de Host-Kra. Luego, se estudian las extensiones proximales de los sistemas equicontinuos, obteniendo una caracterización algebraica de estos. Se demuestra una caracterización algebraica de las extensiones proximales de sistemas de orden $d$ y de la relación regionalmente proximal de orden $d$ para extensiones proximales de sistemas distales. Se extienden los resultados probados para las extensiones proximales de sistemas de orden $d$ a las extensiones proximales de sistemas de orden $\infty$. Por último, se presenta una clase de familia con relación proximal de equivalencia y no cerrada como una familia de candidatos a posibles contraejemplos de la pregunta planteada con respecto a las extensiones proximales de sistemas de orden $d$.