Optimización de mallas poligonales con polígonos de forma arbitraria

Abstract

Dentro de las múltiples aplicaciones de las mallas poligonales en la computación se encuentra su uso como manera de discretizar un espacio para la resolución de ecuaciones diferenciales en distintas áreas de la ingeniería, como análisis estructurales o simulaciones de transferencia de calor. Nuevos métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales que han surgido, como Virtual Element Method (VEM), permiten utilizar mallas conformadas por polígonos de cualquier tipo, incluso aquellos no convexos.

Esta memoria trata sobre Polylla, un algoritmo propuesto para la generación de mallas de polígonos arbitrarios a partir de una triangulación inicial. Esto con el objetivo de usarse en métodos como VEM, de forma alternativa a otras mallas típicamente usadas para esto, como aquellas que nacen de diagramas de Voronoi. Polylla actualmente sólo genera las mallas poligonales, pero carece de métodos para la optimización de dichas mallas. Es por esto que se trabaja para implementar métodos de optimización aplicables a mallas de polígonos arbitrarios, con el objetivo de mejorar su calidad y desempeño en métodos como VEM.

Para esta memoria se investigaron distintos algoritmos de optimización aplicables sobre las mallas de polígonos arbitrarios generadas por Polylla. Entre los métodos investigados se escogieron: Laplacian smoothing, Constrained Laplacian smoothing y Distmesh. Laplacian smoothing consiste en mover todos los vértices a una ponderación de las posiciones de sus vecinos. Constrained Laplacian smoothing funciona de manera similar, midiendo además la calidad de la malla en cada iteración. Distmesh aplica una longitud objetivo para todas las aristas de la malla, extendiéndolas o contrayéndolas para alcanzarla.

Existen distintas métricas que miden la calidad de las mallas poligonales para su uso en VEM. Por tanto, además de los propios métodos de optimización, se realiza la implementación de algunas de estas métricas para analizar la mejora en la calidad de las mallas.

Se muestran experimentos realizados consistentes en la aplicación de los métodos de optimización implementados sobre distintos tipos de mallas de polígonos para medir su desempeño, tanto según las distintas métricas de calidad detalladas como su tiempo de ejecución.

Por último, en base a los experimentos se observa que la calidad de la malla varía en función del método de optimización empleado. En general, Laplacian smoothing es el más rápido y útil para aumentar la convexidad de polígonos, pero no tanto para el resto de métricas, mientras que Constrained Laplacian smoothing toma más tiempo de ejecución pero presenta mayor control respecto a los resultados que se quieren obtener.