Affine semi-conjugacies of interval exchange transformations

Abstract

El estudio de las semi-conjugaciones de intercambios de intervalos (IETs por sus siglas en inglés) viene motivado por resultados clásicos de Denjoy, que, para el caso del círculo, estipulan que un difeomorfismo de éste en él mismo suficientemente suave y con número de rotación irracional es topologicamente conjugado a una rotación irracional (o, lo que es equivalente, un IET en dos intervalos con largos racionalmente independientes). Entendiendo un IET como una adecuada generalización de las rotaciones del círculo y a su vez, los IETs generalizados como generalizaciones razonables de los homeomorfismos del círculo, es natural preguntarse por la validez de este teorema en este contexto. Los trabajos abordando este tema datan de 1996 hasta el día de hoy. En este trabajo entregamos las herramientas básicas para el estudio, en un conjunto de medida llena en el espacio de parámetros, del caso en que el IET generalizado es de naturaleza afín (conocido como IET afín o AIET), que está íntimamente relacionado con el estudio del cociclo discreto de Kontesevich-Zorich y las fluctuaciones de las sumas de Birkhoff. Basados en el estudio de los exponentes de Lyapunov del antes mencionado cociclo, se demuestra que vectores de log-pendientes en el espacio estable de un intercambio de intervalos genérico da lugar a conjugaciones topológicas y que, de hecho, esto caracteriza a los vectores con sumas de Birkhoff acotadas. Basados en un trabajo reciente de Trujillo y Ulcigrai, se da un avance parcial hacia la demostración alternativa de su teorema principal (usando ideas de teoría ergódica de Ramsey), el cual asegura que vectores de log-pendientes en el espacio central de un IET genérico dan lugar, también, a conjugaciones topológicas, pero que resultan ser no absolutamente continuas. Finalmente, se esboza gruesamente una estrategia para generalizar un famoso resultado de Marmi, Moussa y Yoccoz del 2010 para encontrar semi-conjugaciones estrictas de IETs genéricos. Se dejan abiertas un par de conjeturas respecto a una clasificación completa de las oscilaciones de las sumas de Birkhoff en términos de los exponentes de Lyapunov del cociclo de Kontsevich--Zorich discreto.