Contribuciones al estudio de direcciones no deterministas en acciones de Z2

Abstract

Uno de los objetivos fundamentales de la dinámica topológica es estudiar el comportamiento asintótico de sus órbitas y entender cómo dicho comportamiento implica diversas propiedades dinámicas. En particular, el estudio de pares asintóticos de órbitas y la noción de expansividad han sido objeto de estudios profundos las últimas tres décadas. El trabajo pionero de Mike Boyle y Douglas Lind [3] en el año 97, dio pie al comienzo de un largo camino de estudio alrededor de la noción de expansividad direccional en acciones de Z^d. Esta teoría rápidamente tuvo un impacto relevante en combinatoria, recurrencia, dinámica hiperbólica, autómatas celulares, cálculo de entropías, entre muchas otras.

Recientemente en [7], Donoso, Maass y Petite, motivados por el estudio de pares de órbitas asintóticas en acciones de grupos generales, entre muchos resultados, ahondan en el estudio de la no expansividad direccional, consolidando un marco de trabajo que permite estudiar estas nociones a partir de la geometría de los grupos respectivos. En el caso de acciones de Z^d, y más precisamente Z^2, se enfocan en la noción de direcciones que llaman no deterministas, estableciendo como condición necesaria que su envoltura convexa contiene al cero. Esta propiedad, de manera natural, genera la pregunta de realización: ¿qué tipo de conjuntos de direcciones con esta propiedad pueden obtenerse como direcciones de no determinismo de una acción de Z^2? Particularmente, queda abierta la pregunta de saber si {(1, 0),(−1, 0),(0, 1)} es el conjunto de direcciones de no determinismo de una acción de Z^2.

El objetivo principal de esta tesis es justamente el de abordar esta última pregunta de realización. Esta pregunta derivó en la búsqueda de construir endomorfismos rango-distorsionados no inyectivos de un subshift.

Entre los resultados más relevantes de este trabajo destacamos:

1. Se entregan condiciones suficientes para que {(1, 0),(−1, 0),(0, 1)} sea el conjunto de direcciones de no determinismo de una acción de Z^2.

2. Se generaliza la construcción de Hochman en [11], que originalmente usa el concepto de “simulador universal” para probar la existencia de una acción de Z^2 con una única dirección de expansividad dada. Esta adaptación permitió construir un endomorfismo rango-distorsionado no inyectivo de un subshift, objeto cuya existencia no estaba comprobada hasta el momento.