Teoremas de Liouville y conjetura de Landis para ecuaciones en derivadas parciales no locales

Abstract

En la presente tesis se estudian un par de preguntas relativas a ecuaciones integro-diferenciales elı́pticas a la luz de la teorı́a de ecuaciones en derivadas parciales: teoremasde tipo Liouville y la conjetura de Landis. Este tipo de ecuaciones surge como una generalización no local de ecuaciones elı́pticas de segundo orden, como la ecuación de Laplace. En primer lugar, estudiamos el problema de existencia para el problema no lineal M⁺ u +u^p = 0 puesto en un dominio acotado con condiciones Dirichlet homogéneas, lo que nos lleva al problema de obtención de cotas a priori para soluciones de viscosidad. Discutimos la conexión de este tipo de estimaciones con los teoremas de tipo Liouville, adaptando el método de blow-up aplicado por Gidas y Spruck (Comm. Par. Diff. Eq., 1981) en el caso del Laplaciano, y extendiendo el resultado de Barrios, Del Pezzo, Garcı́a-Melián y Quaas (Rev. Mat. Iberoam., 2018) a ecuaciones involucrando un operador no lineal. Además, estudiamos cotas para el exponente de homogeneidad las soluciones fundamentales del operador M⁺, necesarias para la obtención de teoremas de Liouville. Posteriormente, para V una función acotada, consideramos la ecuación M⁺ u + Vu = 0 puesta en todo el espacio, e investigamos condiciones de decaimiento de soluciones bajo las cuales se puede concluir un principio de continuación única en infinito. Adaptamos algunas de las técnicas introducidas por Sirakov y Souplet (Adv. Math., 2021) al caso no local, concluyendo que, asumiendo que el operador cumple el principio del máximo en dominios acotados, cualquier solución decayendo más rápido que un polinomio de grado N + 2s debe ser trivial. Este resultado contrasta con el caso local, en donde el decaimiento óptimo para acceder a la continuación única en infinito es exponencial.

In the present thesis we study some questions relative to elliptic integro-differential equations, in light of the theory of Partial Differential Equations: Liouville type theorems and the Landis conjecture. This type of equations arises as a nonlocal generalization of second-order elliptic equations, such as the Laplace equation. Firstly, we study the existence of solutions to the nonlinear problem M+u+u p = 0 posed in a bounded domain with Dirichlet homogenous boundary conditions, which leads us to the problem of obtaining a priori bounds for viscosity solutions. We discuss the link of this kind of estimates with Liouville-type theorems, adapting the blow-up method proposed by Gidas and Spruck (Comm. Par. Diff. Eq., 1981) in the context of the Laplace equation, and extending the results by Barrios, Del Pezzo, Garc´ıa-Meli´an and Quaas (Rev. Mat. Iberoam., 2018) to equations involving a nonlinear operator. Moreover, we study bounds for the exponent of homegeneity of the fundamental solutions of the operator M+, which are used in the derivation of Liouville theorems. On the other hand, for V a bounded function, we consider the equation M+u + V u = 0 posed in the whole space, and ask for decay conditions for solutions under which one can conclude a unique continuation principle at infinity. We adapt some of the techniques introduced by Sirakov and Souplet (Adv. Math., 2021) to the nonlocal case, concluding that, assuming that the operator satisfies the maximum principle in every bounded domain, any solution decaying faster than a polynomial of degree N + 2s must be trivial. This result is in nature different from the local case, where the optimal decay required for unique continuation at infinity is exponential.