Shape optimization for thin layers heat exchangers

Abstract

Esta tesis aborda dos grandes temas en matemáticas aplicadas: el análisis numérico de EDPs y la optimización de forma/topológica. El objectivo es considerar el caso de un intercambiador de calor fluido-fluido en un régimen de convección forcada, donde los fluidos están separados por un solido de espesor pequeño (capa fina). Así, al abordar los retos que plantean las condiciones de transmisión no estándar, este trabajo contribuye a avanzar en las herramientas teóricas y numéricas utilizadas para tratar sistemas físicos acoplados en la optimización de la forma.

Comenzamos por proponer un modelo asintótico que toma en cuenta el intercambio de calor en la capa fina solida a través de condiciones de transmisión efectivas de tipo Ventcel en la interface. En primer lugar, estudiamos la resolución numérica de este modelo, donde desarrollamos y analizamos un método de elementos finitos extendidos de tipo Nitsche, dando resultados de consistencia, estabilidad y estimaciones de error, que validamos tanto teorica como numéricamente. Enseguida, nos interesamos en un problema de optimización de forma motivado por un isolante térmico: obtenemos las derivadas de forma para el problema de diseño óptimo que consiste en minimizar el flujo de calor al exterior de un tubo cubierto pour un isolante térmico a volume fijo, y realizamos simulaciones numéricas utilizando el método de level-set para adaptación de mallas. Finalmente, nos concentramos en el problema de diseño óptimo de intercambiadores de calor fluido-fluido, para maximizar el intercambio de calor bajo restricciones de disipación de energía y de volumen, consideramos un modelo debilmente acoplado entre las ecuaciones de Navier-Stokes estacionarias y la ecuación de convección-difusión con condiciones de transmisión de tipo Ventcel, analizamos la sensibilidad respecto a la forma del sistema y realizamos simulaciones numéricas 3D.

Cette thèse s’inscrit dans deux domaines majeurs des mathématiques : l’analyse numérique des EDP et l’optimisation de forme/topologique. L’objectif est de considérer le cas d’un échangeur de chaleur à deux fluides en régime de convection forcée, dans le cas où les fluides sont séparés par une fine couche solide. Ainsi, en abordant les défis posés par des conditions de transmission non standard, ce travail contribue à faire progresser les outils théoriques et numériques utilisés pour traiter des systèmes physiques couplés en optimisation de la forme. Nous commençons par proposer un modèle asymptotique qui prend en compte l’échange de chaleur dans la couche solide mince impliquant des conditions de transmission de type Ventcel à l’interface. Tout d’abord, la résolution numérique de ce modèle est étudiée, où nous développons et analysons une méthode d’éléments finis étendues de type Nitsche en donnant des résultats de consistence, de stabilité et des estimations d’erreur, que nous validons à la fois théoriquement et numériquement. Ensuite, nous nous intéressons à un problème d’optimisation de forme motivé par l’isolation thermique : nous obtenons les dérivées de forme pour le problème de conception optimale consistant à minimiser le flux de chaleur à l’extérieur d’un tuyau entouré d’un isolant thermique de volume fixe, et nous mettons en œuvre des simulations numériques à l’aide de la méthode des lignes de niveaux. Enfin, nous nous concentrons sur la conception d’échangeurs de chaleur fluide-fluide en 3D : pour maximiser l’échange de chaleur sous des contraintes de dissipation d’énergie et de volume, nous considérons un modèle couplé impliquant les équations de NavierStokes stationnaires et une équation de convection-diffusion avec des conditions de transmission de type Ventcel, nous analysons la sensibilité par rapport à la forme du système et nous réalisons des simulations numériques 3D.

This thesis falls within two major areas of mathematics: numerical analysis of PDEs and shape/ topology optimization. We are interested in the optimal design of a heat exchanger. The aim is to consider the case of a two-fluid heat exchanger in a forced convection regime, in the case where the fluids are separated by a thin solid layer. Then, by addressing challenges arising from non-standard transmission conditions, this work contributes to advancing the theoretical and computational tools used to tackle coupled physical systems in shape optimization. We begin by proposing an asymptotic model that takes into account heat exchange in the thin solid layer involving Ventcel-type transmission conditions at the interface. Firstly, the numerical resolution of this model is studied and we develop and analyze a Nitsche-type finite element method providing consistency, stability, and error estimates, validated both theoretically and numerically. Secondly, we turn to a shape optimization problem motivated by thermal insulation: we derive shape derivatives for the optimal design problem of minimizing the heat flux outside a pipe surrounded by a thermal insulation of fixed volume, and we implement numerical simulations using the level set method. Finally, we focus on the design of 3D fluid-to-fluid heat exchangers: to maximize heat exchange under energy dissipation and volume constraints, we consider a coupled model involving steady-state Navier-Stokes equations and a convection-diffusion equation with Ventcel-type transmission conditions, analyze the shape sensitivity of the system, and provide 3D numerical simulations