Algunas Propiedades Básicas de Operadores no Uniformemente Elípticos

Abstract

El objetivo de esta memoria es el estudio de propiedades para una clase de operadores totalmente no lineales, modelados por el p-laplaciano. La ecuaci´on asociada que se analiza es F(∇u, D2u + b(x) · ∇u |∇(u(x))|α + c(x)u |u|α = f en Ω

donde α > −1, Ω ⊆ R n es un dominio acotado, b y c son funciones continuas y acotadas, f ∈ L n (Ω), F : (R n \ {0} × S(n)) → R es continua. Además, para toda matriz simétrica X, F satisface una condición de homogeneidad F (tp, µX) =|t| α µF (p, X), ∀t ∈ R \ {0}, µ ∈ R + y cotas |p| α M− (X) ≤ F (p, X) ≤ |p| α M+ (X). Aquí M− y M+ son los operadores extremales de Pucci. Este tipo de operadores ya ha sido estudiado por Birindelli y Demengel y se conocen resultados de comparación, existencia para el problema de Dirichlet y existencia del primer valor propio. El marco teórico utilizado por Birindelli y Demengel es el de soluciones viscosas, el cual es particularmente apropiado cuando se consideran operadores totalmente no lineales no variacionales.

El primer resultado que se prueba es el principio del máximo de AlexandroffBakelman-Pucci, siguiendo las técnicas utilizadas por Cafarelli, Crandall, Kocan y Swiech . A continuación, se prueba la desigualdad de Harnack en el caso α ∈ (−1, 0). Este resultado entrega regularidad interior de las soluciones. Inspirados por Esteban, Felmer y Quaas y a la compacidad obtenida en esta memoria se procede al estudio de existencia de soluciones globales y explosión en la frontera, para una ecuación superlineal asociada.