Seudo-Métricas Inducidas por Funciones de Tipo Legendre y Métodos dinámicos en Optimización

Abstract

El objetivo de la presente memoria es proponer un nuevo método para resolver una clase general de problemas de optimización, a saber, dado un conjunto convexo y abierto , una función diferenciable , una matriz de rango completo (con ) y un vector , buscamos resolver algorítmicamente el problema: (P0) min{ f(x) : x ∈ clC, Ax = b}.

Para esto, tomamos herramientas de la Geometría Riemanniana, las mezclamos con el método de máximo descenso y nos preguntamos qué sucede si miramos este algoritmo bajo la lupa de otra métrica, una no necesariamente Euclideana. Si bien la idea de usar métricas variables para resolver este tipo de problemas no es nueva, nuestro trabajo sí lo es, pues nos interesamos en una en particular, una que es inducida por el cuadrado de la matriz Hessiana de una cierta función barrera cuyo dominio coincide con . Esta métrica tiene la gran gracia de proveernos de una isometría, fácil de calcular, entre el conjunto , visto como variedad, y un espacio Euclideano apropiado. En el capítulo 1 de esta memoria damos una descripción introductoria de las herramientas de la Geometría Riemanniana que usamos para desarrollar nuestra teoría. En el capítulo 2 definimos formalmente la Métrica Hessiana Cuadrada de Legendre sobre un dominio convexo. Estudiamos también sus principales propiedades y consecuencias. En el capítulo 3 introducimos un nuevo método de optimización para resolver de forma algorítmica un problema más simple que el de minimizar la función sólo sobre la adherencia del conjunto . También introducimos una nueva noción de dualidad y presentamos algunos teoremas de convergencia. En el capítulo 4 generalizamos este método, con el fin de resolver algorítmicamente el problema . Por otra parte, en el capítulo 5 abordamos la pregunta de en qué casos nuestra métrica coincide con la inducida por la Hessiana de otra función barrera. Primeramente, planteamos el problema para el caso separable, obteniendo condiciones necesarias y suficientes, para luego pasar a un caso más general, donde sólo obtuvimos una condición necesaria. Finalmente, usando este criterio mostramos que el problema es en realidad muy restrictivo respecto al conjunto , lo cual nos hace conjeturar que esta pregunta no es fácil de responder y que la respuesta es en general negativa. Cabe destacar que la noción de dualidad que aquí introducimos crea un lazo entre las propiedades de carácter Riemanniano y las de carácter Euclideano, en particular, permite transformar problemas no convexos en otros que sí lo son. Más aún, esta noción nos muestra que es posible resolver ciertos problemas de optimización con restricciones aplicando métodos de optimización irrestricta sobre un problema dual adecuado.