Un criterio de unicidad de distribuciones cuasi-estacionarias para un proceso truncado de nacimiento y muerte con mutaciones

Abstract

n la presente memoria se estudian las distribuciones cuasi-estacionarias (q.s.d.) de un proceso \hat{Y} de nacimiento y muerte a tiempo continuo. Este proceso es absorbido al alcanzar una cantidad determinada de individuos, los cuales están caracterizados por rasgos fenotípicos, representados por elementos de un espacio métrico compacto. Cada uno de tales individuos puede morir o generar un nuevo individuo el cual puede poseer el mismo rasgo que su padre o mutar a uno de forma aleatoria. Las tasas del proceso pueden depender de la configuración de la población presente, la cual asumimos que se extingue casi-seguramente. Para el estudio de las distribuciones cuasi estacionarias de \hat{Y} se busca la existencia de una función acotada correspondiente a un vector propio por la derecha del semigrupo de transición \{\hat{P}_t\}_{t\geq0} del proceso, pues se prueba que en tal caso existe una única q.s.d., la cual es absolutamente continua respecto a una medida de referencia \mu. La función antes mencionada es obtenida a partir del límite débil de vectores propios por la derecha para aproximaciones de \{\hat{P}_t\}_{t\geq0}, bajo el único supuesto de que estas funciones son uniformemente acotadas. Además, para tales aproximaciones se prueba la existencia de vectores propios por la izquierda, los cuales corresponden a medidas de probabilidad que bajo el supuesto anterior convergen débilmente a la única distribución cuasi-estacionaria de \hat{Y}. Se estudia finalmente un proceso Y correspondiente a la versión no absorbida de \hat{Y}, para el cual se prueban los mismos resultados bajo el supuesto adicional de que infinito se comporta como un estado de entrada.