Estudio del decaimiento T2 de imágenes de Resonancia Magnética y corrección del artefacto de volúmenes parciales

Abstract

El presente trabajo muestra un estudio desde los fundamentos de resonancia magnética, hasta el desarrollo de un problema que puede presentar aplicaciones en estudios en medicina. Se expone el proceso físico de resonancia magnética y la producción de imágenes en un lenguaje que pueda ser entendido para lectores que tengan una formación matemática. Luego se presenta el problema matemático y el modelo de imágenes que se considera, seguido de un desarrollo de la obtención de la solución a este problema, mostrando el camino que se puede seguir recorriendo en esa misma línea. El problema abordado trata de la reconstrucción del parámetro T2 de resonancia magnética, llamado decaimiento transversal o spin-spin. T2 puede ser entendido como una función que idealmente es constante por pedazos, donde cada valor es característico de un tejido. Es decir, T2 es una herramienta para distinguir los tejidos presentes en el cuerpo que se estudia. Físicamente, T2 caracteriza puntualmente un decaimiento exponencial de una cantidad llamada densidad de spin. Sin embargo, en imágenes de resonancia magnética, las imágenes son caracterizadas en pixeles. Hoy en día, la técnica de imágenes de resonancia magnética goza de tener una gran resolución respecto a otros métodos de imágenes médicas, sin embargo, el hecho de que la representación sea finita hace que siempre haya limitaciones. Una de aquellas limitaciones es que dentro de un pixel puede no haber un decaimiento exponencial, debido a que el pixel está representando un lugar en el espacio donde hay más de un tejido, o también se arrastra un fenómeno llamado de Gibbs, el cual consiste en la contaminación del valor físico que debería tener un pixel, debida a los pixeles cercanos. Estos son efectos de un muestreo finito, el cual es realista, donde además se debe considerar el hecho de que se produce un ruido aleatorio sobre las mediciones. En este trabajo se muestra cómo se puede reconstruir el parámetro T2 mediante modelos de decaimiento de una y dos exponenciales, y cómo el realizar interpolaciones sobre las imágenes ayuda a reconstruir la geometría de los objetos que se están muestreando. Específicamente, se desarrollan algoritmos que interpolan (y ajustan) en el espacio de la imagen o bien extrapolan en el espacio de Fourier, usando splines bicúbicas regularizantes, o bien un rellenado con ceros en el espacio de Fourier, seguido de una reconstrucción de valores de T2 que provienen de ajuste de una o dos exponenciales, usando regresiones lineales y el método de Prony, seguido de un criterio de binarización para decidir qué tejido asignarle a los pixeles refinados.